Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 2: Movimento retilíneo
Exercício 70
Enunciado:
Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por $x_{1}=6t^{2}+3t+2$, em que x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada por $a_{2}=-8t$, em que a está em metros por… Para ter acesso ao enunciado, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Posição da partícula 1 é dada por $x_{1}=6t^{2}+3t+2$;
- Aceleração da partícula é dada por $a_{2}=-8t$;
- $v_{2}(t=0)=20\;m/s$.
Item único:
Nos é pedido o instante de tempo em que as duas partículas tem a mesma velocidade. Para isso, precisamos encontrar a função da velocidade em função do tempo para as duas partículas. Vamos analisar a partícula 1, para ela, temos a função posição, e nós sabemos que a relação entre velocidade e posição é de:
$$v_{1}= \frac{dx_{1}}{dt} = 12t +3 \tag{1}
$$
Para a velocidade da partícula 2, temos a aceleração, que se relaciona a velocidade como:
$$a_{2}=\frac{v_{2}}{dt} = -8t \tag{2}
$$
Isolando o termo $dv$, temos
$$dv=-8t\cdot dt \tag{3}
$$
Agora, podemos integrar ambos os lados para encontrarmos $v(t)$:
$$\int_{v_{0}}^{v_{2}} dv = -8 \int_{t_{0}}^{t} tdt \tag{4}
$$
$$v_{2}(t)-v_{2}(t_{0})=-8 \cdot\frac{t^{2}-t_{0}^{2}}{2} \tag{5}
$$
Podemos definir $t_{0}$ como o tempo inicial, ou seja, $t_{0}=0\;s$. Com isso, temos:
$$v_{2}-v_{2}(0) = -8 \cdot \frac{t^{2}-0^{2}}{2} \tag{6}
$$
Lembrando que uma das informações do enunciado é que $v_{2}(t=0)=20\;m/s$. Substituindo e isolando $v_{2}$, temos:
$$v_{2}=-4t^{2}+20 \tag{7}
$$
Agora temos as velocidades em função do tempo para ambas as partículas. Para encontrarmos o tempo em que as duas tem a mesma velocidade, basta igualarmos as velocidades e calcularmos o tempo:
$$v_{2}=-4t^{2}+20 = 12t +3 = v_{1} \tag{8}
$$
Rearranjando, temos a seguinte equação do segundo grau:
$$4t^{2}+12t-17=0 \tag{9}
$$
Calculando suas raízes:
$$t=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \tag{9}
$$
$$t=\frac{-12\pm \sqrt{12^{2}-4\cdot 4\cdot (-17)}}{2\cdot4} \tag{10}
$$
As raízes, portanto, são $t=1,05\;s$ e $t=-4,05\;s$. Como admitimos que o tempo inicial é $t_{0}=0\;s$, a raíz negativa não faz sentido nesse caso. Portanto, o tempo em que as duas partículas terão a mesma velocidade é de:
$$\boxed{t=1,05\;s} \tag{11}
$$
