Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 2: Movimento retilíneo
Exercício 78
Enunciado:
Um trem vermelho a 72 km/h e um trem verde a 144 km/h estão na mesma linha, retilínea e plana, movendo-se um em direção ao outro. Quando a distância entre os trens é de 950 m, os dois maquinistas percebem o perigo e acionam os freios, fazendo com que os dois… Para ter acesso ao enunciado, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Trem vermelho ($v_vm=72\;km/h$) e trem verde ($v_vd=144\;km/h$) em sentidos opostos na mesma linha;
- Distância entre os trens é de $s=950\;m$;
- Desaceleração dos trens é de $a=1\;m/s^{2}$.
Item único:
Os trens conseguem evitar a colisão? Para isso, temos que saber se a distância que os dois trens percorrem durante a aceleração é maior ou menor do que a separação deles quando começam a frear. Para os trens pararem, $v=0$. Portanto, para o trem vermelho:
$$v=v_{0}+at \tag{1}
$$
$$
v=72\frac{km}{h} \frac{1000\;m}{1km} \frac{1h}{3600s}+(-1\;m/s^{2})\cdot t_{vm}=0 \tag{2}
$$
$$
\boxed{t_{vm}=20\;s} \tag{3}
$$
Agora podemos calcular a distância percorrida durante esse tempo.
$$
x_{vm}=v_{0}t + \frac{at^{2}}{2} \tag{4}
$$
$$
x_{vm}=20\;m/s\cdot 20s + \frac{1}{2}(-1\;m/s^{2})(20s)^{2} \tag{5}
$$
$$
\boxed{x_{vm}=200\;m} \tag{6}
$$
Fazendo o mesmo para o trem verde (nesse caso, como o trem verde está vindo no sentido contrário ao vermelho, tanto a velocidade quanto a aceleração terão sinais trocados):
$$
v=v_{0}+at \tag{7}
$$
$$
v=-144\frac{km}{h} \frac{1000m}{1km} \frac{1h}{3600s}+(1\;m/s^{2})\cdot t_{vr}=0 \tag{8}
$$
$$\boxed{t_{vr}=40\;s} \tag{9}
$$
Veja que é o dobro do tempo uma vez que a velocidade desse trem também é o dobro do trem vermelho.
$$x_{vr}=v_{0}t + \frac{at^{2}}{2} \tag{10}
$$
$$
x_{vr}=-40\;m/s\cdot 40s + \frac{1}{2}(\;m/s^{2})(40\;s)^{2} \tag{11}
$$
$$
\boxed{x_{vr}=-800\;m} \tag{12}
$$
Portanto, somando as duas trajetórias, seria necessário uma distância total de 200+800=1000 m, e os trens só dispunham de 950m. Ou seja, a colisão acontece, podemos calcular as velocidades dos trens no momento da colisão. Perceba que em 20s o trem vermelho para, podemos saber quanto o trem verde percorreu nesse tempo.
$$x_{vd}(20\;s) = v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}= -40\;m/s(20s)+\frac{1}{2}1\;m/s^{2}(20\;s)^{2}=-600\;m \tag{13}
$$
Então, nesse tempo, o trem verde percorreu 200m e parou, enquanto o vermelho ainda estava freando e já havia percorrido 600m, então, eles estão a (950-(200+600))=150 m um do outro.
Para saber a velocidade do trem verde, podemos aplicar a equação de Toricelli numa distância dada pela distância já percorrida pelo trem vermelho até parar (200 m) menos a distância total entre os trens (950 m).
$$v_{vd}^{2}=v_{0}^{2}+2\cdot a \cdot \Delta s \tag{14}
$$
$$
v_{vd}=\sqrt{(-40)^{2}+2(1)(+200-950)} \tag{15}
$$
$$
\boxed{v_{vd}(t=colisao)=10\;m/s} \tag{16}
$$
