Exercício 22, Capítulo 21, Fundamentos de Física Vol. 3: quatro partículas

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 3

Capítulo 21: A Lei de Coulomb

Exercício 22

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Sistema de 4 partículas carregadas mostrado na Figura 21-31 do livro;
• $\theta=30^{\circ}$ e $d=2\;cm$;
• $q_2=+8\times10^{-19}\;C$ e $q_3=q_4=-1,6\times10^{-19}\;C$.

Item (a):

O exercício nos pede a distância $D$ entre a origem e a partícula 2 para que a força que age sobre a partícula 1 seja nula. A Figura 21-31 do livro mostra a disposição das partículas no plano $xy$. Primeiro, vamos calcular a força que as partículas 3 e 4 exercem sobre a partícula 1. Perceba que as componentes em $y$ das forças se cancelam uma vez que as partículas 3 e 4 tem mesma carga e estão espelhadas em relação ao eixo $x$ e a partícula 2 está no eixo $x$ de modo a componente $y$ da sua força em relação a partícula 1 é nula.

A soma das componentes em $x$ das forças que as partículas 3 e 4 exercem sobre 1 é:

$$
2\frac{|q_1||q_3|}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{30^{\circ}} = \frac{|q_1||q_3|\cos{30^{\circ}}}{2\pi\epsilon_0 (d/\cos30^{\circ})^2} = \frac{|q_1||q_3|\cos^3{30^{\circ}}}{2\pi\epsilon_0d^2} = \frac{3\sqrt{3}|q_1||q_3|}{16\pi\epsilon_0d^2}\tag{1}
$$

O fator de 2 é justamente porque as duas cargas exercem a mesma força e $q_2=q_3$. O termo $\cos(30^{\circ})$ é justamente para levarmos em conta apenas a componente $x$ da força. Também usamos que $r=d/\cos{30^{\circ}}$. Para que a força que age sobre a partícula 1 seja nula, o valor calculado deve ser igual, em valor absoluto, à força execida pela partícula 2 sobre a partícula 1:

$$
\frac{3\sqrt{3}|q_1||q_3|}{16\pi\epsilon_0d^2} = \frac{|q_1||q_2|}{4\pi\epsilon_0(D+d)^2}\tag{2}
$$

Onde usamos que a distância entre as partículas 1 e 2 é $(D+d)$. Simplificando alguns termos e rearranjando os termos, ficamos com:

$$
\frac{3\sqrt{3}}{4}(D+d)^2 = 5d^2\tag{3}
$$

Tirando a raiz quadrada de todos os termos:

$$
D+d = \sqrt{\frac{20}{3\sqrt{3}}}d \longrightarrow D = \left(\sqrt{\frac{20}{3\sqrt{3}}}-1\right)d\tag{4}
$$

Usando $d=2\;cm$, temos o resultado final:

$$
\boxed{D = 1,92\;cm}\tag{5}$$

Item (b):

Agora, se as partículas 3 e 4 são aproximadas do eixo $x$ mantendo-se simétricas em relação a esse eixo, o exercício nos pergunta se o valor de $D$ é maior, menor ou igual o valor calculado no item (a).
Quando as partículas se aproximam do eixo, o ângulo $\theta$ diminui fazendo com que o $\cos$ do ângulo aumente. Isso faz com que as componentes $x$ das forças que elas exercem sobre a partícula 1 aumente. Para compensar esse fato, a força exercida pela partícula 2 sobre 1 deve ser maior, o que demanda que a distância D seja menor.

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