Exercício 42, Capítulo 12, Fundamentos de Física Vol. 2: piso

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10ª Edição

Volume 2

Capítulo 12: Equilíbrio e elasticidade

Exercício 42

Solução:

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

• Escada de comprimento $L=12\;m$ e massa $m=45\;kg$ está encostada em um muro sem atrito;
• A extremidade superior da escada está a uma altura $h=9,3\;m$;
• Suponha que o atrito estático entre a escada e o piso é de $\mu_s=0,53$;
• Centro de massa da escada está a $L/3$ da extremidade inferior;
• Um bombeiro de massa $M=72\;kg$ sobe na escada.

Item único:

Esse exercício é adaptado do Exemplo 12-03 do livro, em que as informações necessárias do exemplo já foram compiladas acima. Na questão nos é perguntado a que distância (como porcentagem do comprimento total da escada) o bombeiro deve subir para que a escada esteja na iminência de escorregar. Primeiramente, vamos desenhar o diagrama de forças para a escada e o bombeiro, como ilustrado na Figura 1 abaixo. Nela, podemos ver que a base da escada está a distância $a$ da parede, que tem altura $h$. O bombeiro tem peso $Mg$ e está a distância $x$ da base da escada. A escada tem peso $mg$ e tem centro de massa em distância $a/3$ a partir da base da escada. $F_w$ é a força exercida pela parede na escada e as forças $F_{py}$ e $F_{px}$ são as componentes vertical e horizontal da força exercida pelo chão na escada.

Figura 1: Diagrama de forças do exercício.

Como o sistema está em equilíbrio estático, a soma das forças que agem sobre o sistema tanto na horizontal quanto na vertical devem ser nulas. Portanto, podemos escrever que, na horizontal:

$$
F_w-P_{px} = 0 \tag{1}
$$

E na vertical:

$$
F_{py} – (M+m)g = 0 \tag{2}
$$

Como a escada está na iminência de escorregar, a força $F_{px}$ deve ser exatamente a força de atrito, sendo que a força normal é dada por $F_{py}$:

$$
F_{px} = \mu_sN = \mu_s F_{py} \tag{3}
$$

Agora, podemos usar a Equação (1) para substituir $F_{px}=F_w$ e a Equação (2) para substituir $F_{py}=(M+m)g$:

$$
F_w = \mu_s(M+m)g \tag{4}
$$

Ainda temos uma incógnita ($F_w$) e portanto, podemos usar o fato de que no equilíbrio, a soma dos torques em relação a base da escada também deve ser zero:

$$
-hF_w+x(Mg)+\frac{a}{3}(mg) = 0 \tag{5}
$$

Lembrando que as forças que produzem torque são aquelas que não são aplicada no ponto em que estamos considerando e que a distância considerada para o torque é aquela perpendicular a direção da força. Veja também que assumimos para dentro da tela como sendo negativo e saindo da tela como positivo. Isolando $x$ e substituindo $F_w$ usando a Equação (4), ficamos com:

$$
x = \frac{hF_w-(a/3)mg}{Mg} = \frac{h\mu_s(M+m)g-(a/3)mg}{Mg}=\frac{h\mu_s(M+m)-(a/3)m}{M} \tag{6}
$$

Onde apenas simplificamos a gravidade $g$ na última igualdade. Um outro fator que merece atenção agora é o fator $a$. Nós definimos ele no começo, mas ele não é dado no exercício. Podemos calcular $a$ através de Pitágoras entre $a$, $L$ e $h$. Aplicando Pitágoras e já calculando o valor de $a$, temos:

$$
L^2 = h^2+a^2 \Longrightarrow a = \sqrt{L^2-h^2} =\sqrt{(12\;m)^2+(9,3\;m)^2} = 7,58\;m \tag{7}
$$

Perceba que assumir que o centro de massa da escada está $a/3$ da horizontal apenas por saber que o centro de massa está a $L/3$ do seu comprimento não leva a um erro pois a proporção é mantida no Teorema de Pitágoras.

Veja que o exercício nos pede a porcentagem da posição do bombeiro em relação ao comprimento da base da escada ($a$), portanto, o que o exercício nos pede é na verdade a grandeza $x/a$. Assim, usando a Equação (6):

$$
\frac{x}{a} = \frac{h\mu_s(M+m)-(a/3)m}{Ma} \tag{8}
$$

Substituindo os valores numéricos dado, ficamos com:

$$
\boxed{\frac{x}{a} = \frac{(9,3\;m)(0,53)(72\;kg+45\;kg)-(7,58\;m/3)(45\;kg)}{(72\;kg)(7,58\;m)} = 0,848 \approx 85\%} \tag{9}
$$