Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 10:
Enunciado:
Um cubo de gelo flutua sobre água gelada num copo, com a temperatura da agua próxima de 0 °C. Quando o gelo derrete, sem que haja mudança apreciável da temperatura, o nível da água no copo sobe… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Sabendo que o cubo de gelo está flutuando, podemos dizer que o seu peso é equilibrado pelo empuxo, ou seja:
$$
m_{gelo} g = \rho_{H_2O}V_{d}g
\tag{1}$$
Onde $m_{gelo}$ é a massa do gelo, $g$ a aceleração da gravidade, $\rho_{H_2O}$ a densidade da água, e $V_{d}$ o volume deslocado pelo cubo de gelo. Sendo assim, podemos escrever:
$$
V_{d} = \frac{m_{gelo}}{\rho_{H_2O}}
\tag{2}$$
O volume inicial, $V_i$, é dado pela soma do volume do líquido, $V_{H_2O}$, mais o volume deslocado:
$$
V_i = V_{H_2O} + V_d = V_{H_2O} + \frac{m_{gelo}}{\rho_{H_2O}}
\tag{3}$$
Após o derretimento do gelo, o volume final do sistema é dado pela soma do volume do líquido, $V_{H_2O}$, e do volume de água adicional que veio do gelo derretido, $V_{derretido}$. Sabendo a massa do cubo de gelo, e que ele se transforma totalmente em água, podemos calcular esse volume simplesmente dividindo a massa pela densidade da água:
$$
V_{derretido} = \frac{m_{gelo}}{\rho_{H_2O}}
\tag{4}$$
Ou seja, o volume final, $V_f$ é:
$$
V_f = V_{H_2O} + V_{derretido} = V_{H_2O} + \frac{m_{gelo}}{\rho_{H_2O}}
\tag{5}$$
Comparando os valores de $V_f$ e $V_i$ que calculamos, vemos que:
$$
\boxed{V_f = V_i}
\tag{6}$$
Ou seja, o nível não se altera.
Item (b):
Para saber se o nível da água diminuiu, aumentou ou permaneceu igual, precisamos calcular os volumes em cada uma das situações. No início, o volume total é dado pela soma do volume da água da piscina, $V_{H_2O}$, com o volume deslocado pelo barco, $V_{d, i}$:
$$
V_i = V_{H_2O} + V_{d,i}
\tag{7}$$
Depois que a pedra é atirada na piscina, o volume total é a soma do volume da água (que não se altera), com o volume da pedra $V_{pedra}$, e com o volume deslocado pelo barco nessa nova configuração, $V_{d,f}$:
$$
V_f = V_{H_2O} + V_{d,f} + V_{pedra}
\tag{8}$$
Fazendo a diferença entre essas duas expressões, temos:
$$
V_f – V_i = V_{d,f} + V_{pedra} – V_{d,i}
\tag{9}$$
Para podermos usar a expressão acima, vamos calcular o valor dos termos do lado direito. No início, o peso do barco com a pessoa e a pedra é equilibrado pelo empuxo, então:
$$
(m_{pessoa} + m_{barco} + m_{pedra})g = \rho_{H_2O}V_{d,i}g
\tag{10}$$
Portanto:
$$
V_{d,i} = \frac{m_{pessoa} + m_{barco} + m_{pedra}}{\rho_{H_2O}}
\tag{11}$$
Da mesma forma, após a pedra ser atirada na piscina, o peso do barco e da pessoa é equilibrado pelo empuxo:
$$
(m_{pessoa} + m_{barco} )g = \rho_{H_2O}V_{d,f}g
\tag{12}$$
Logo:
$$
V_{d,f} = \frac{m_{pessoa} + m_{barco}}{\rho_{H_2O}}
\tag{13}$$
Além disso, o volume da pedra é dado pela sua massa dividida pela sua densidade:
$$
V_{pedra} = \frac{m_{pedra}}{\rho_{pedra}}
\tag{14}$$
Ao substituirmos os valores de $V_{d,i}$, $V_{d,f}$ e $V_{pedra}$ na equação 9, chegamos na expressão:
$$
V_f – V_i = m_{pedra} \left( \frac{1}{\rho_{pedra}} – \frac{1}{\rho_{H_2O}} \right)
\tag{15}$$
Note que a diferença entre os volumes inicial e final depende da massa da pedra, bem como da sua densidade e da densidade da água. Sabendo que a pedra afunda, podemos concluir que $\rho_{pedra} \gt \rho_{H_2O}$. Isso significa que a expressão acima é negativa, ou seja:
$$
\boxed{V_f – V_i \lt 0 \Rightarrow V_{f} \lt V_i}
\tag{16}$$
Dessa forma, podemos concluir que o nível da água diminui.
