Exercício 62, Capítulo 11, Fundamentos de Física Vol. 1: trapezista

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 11: Rolagem, Torque e Momento Angular

Exercício 62:

Enunciado:

Um trapezista pretende dar quatro cambalhotas em um intervalo de tempo $\Delta t = 1,87 \; s$ antes de chegar ao companheiro. No primeiro e no último quarto de volta, ele mantém o corpo esticado, como na Fig. 11-55, com um momento de inércia $I_l = 19,9 \; kg \cdot m^2$ em relação ao centro de massa (o ponto da figura). No resto do salto, mantém o corpo na posição grupada, com um momento de inércia… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

Sabendo das informações do enunciado, devemos determinar a velocidade angular $\omega_2$ do trapezista quando ele está na fase grupada do movimento. A Figura 11-55 do livro ilustra a situação. Primeiramente, perceba que são 4 voltas e o trapezista fica 1/4 da primeira volta e 1/4 da última volta esticado. Se dividirmos todas as voltas em 4 partes, 4 voltas totalizam 16 partes e em 2 partes dessas o trapezista está com o corpo esticado, resultado então em 2/16 = 1/8 do tempo nessa posição. Então, para a posição esticado:

$$
t_1, I_1 \Longrightarrow \theta_1 = 0,5\;rev
\tag{1}$$

Então, a revolução total será de 7/8 de 4 rev:

$$
t_2, I_2 \Longrightarrow \theta_1 = 3,5\;rev
\tag{2}$$

Podemos então dizer que o tempo total do percurso é a soma dos tempos em cada uma das posições e podemo escrever o tempo como sendo a revolução dividido pela velocidade com que o trapezista realiza essa revolução, ou seja, $\theta/\omega$:

$$
\Delta t = t_1 + t_2 = \frac{\theta_1}{\omega_1}+\frac{\theta_2}{\omega_2}
\tag{3}$$

Podemos relacionar as velocidades angulares percebendo que como não existe nenhum torque externo, o momento angular $L$ é conservado, ou seja:

$$
I_1\omega_1 = I_2 \omega_2 \Longrightarrow \omega_1 = \frac{I_2 \omega_2}{I_1}
\tag{4}$$

Substituindo essa expressão na Equação (3), ficamos com:

$$
\Delta t = \frac{\theta_1}{I_2\omega_2/I_1}+\frac{\theta_2}{\omega_2} = \frac{1}{\omega_2}\left(\frac{I_1}{I_2}\theta_1+\theta_2\right)
\tag{5}$$

Isolando $\omega_2$ que é o que queremos e substituindo os termos numéricos:

$$
\boxed{\omega_2 = \frac{1}{\Delta t}\left(\frac{I_1}{I_2}\theta_1+\theta_2\right) = \frac{1}{1,87\;s}\left(\frac{19,9\;kgm^2}{3,93\;kgm^2}(0,5\;rev)+3,5\;rev\right) = 3,23\;rev/s}
\tag{6}$$