Exercício 63, Capítulo 11, Fundamentos de Física Vol. 1: criança

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 11: Rolagem, Torque e Momento Angular

Exercício 63:

Enunciado:

Na Fig. 11-56, uma criança de 30 kg está de pé na borda de um carrossel estacionário, de raio 2,0 m. O momento de inércia do carrossel em relação ao eixo de rotação é $150 \; kg \cdot m^2$. A criança agarra uma bola, de massa 1,0 kg, lançada por um colega. Imediatamente antes de ser agarrada, a bola tem uma velocidade $\vec{v}$ de módulo 12 m/s que faz um ângulo $\phi = 37^{\circ}$ com uma reta tangente à borda do carrossel, como mostra a figura. Qual é a velocidade angular do carrossel imediatamente após a criança… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pede a velocidade angular do carrossel imediatamente após a criança agarrar a bola. Fisicamente, já podemos pensar que a conservação de momento fará com que o momento da bola será transferido para o giro do carrossel. A Figura 11-56 do livro exemplifica a situação.

Como o carrossel está inicialmente parado, o momento angular do sistema total (incluindo a bola) será o momento angular associado a bola com relação centro do carrossel. Podemos escrever o momento angular da bola ($\vec{l_0}$) como sendo:

$$
\vec{l_0} = \vec{r_0}\times\vec{p_0} \Longrightarrow l_0 = r(m_bv_0)cos\phi
\tag{1}$$

No qual o momento linear é $p_0=m_bv_0$ e o produto vetorial entre o vetor raio e a velocidade faz com que temos que decompor a velocidade na tangente da borda do carrossel.

Substituindo os valores numéricos, temos que o momento angular é:

$$
l_0 = 2\;m(1\;kg)(12\;m/s)cos37^{\circ} = 19\;kgm^2/s
\tag{2}$$

Através da conservação de momento angular, podemos escrever que esse momento associado a bola será o momento linear que o sistema como um todo (carrossel, garoto e bola) deverá ter quando a criança agarrar a bola, ou seja:

$$
l_0 = I_{total}\omega = (I + m_cr^2 + m_br^2)\omega
\tag{3}$$

No qual $\omega$ é a velocidade angular do carrossel. Portanto, substituindo os valores numéricos:

$$
19\;kgm^2/s = (150\;kgm^2+30\;kg(2\;m)^2+1\;kg(2\;m)^2)\omega = (274\;kgm^2)\omega
\tag{4}$$

Portanto, finalmente temos:

$$
\boxed{\omega = \frac{19\;kgm^2/s}{274\;kgm^2}=0,07\;rad/s}
\tag{5}$$