Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 9: Centro de Massa e Momento Linear
Exercício 69:
Enunciado:
Uma pequena esfera de massa $m $está verticalmente acima de uma bola maior, de massa $M = 0,63 \; kg$ (com uma pequena separação, como no caso das bolas de beisebol e basquete da Fig. 9-68a), e as duas bolas são deixadas cair simultaneamente de uma altura $h = 1,8 \; m$. (Suponha que os raios das bolas são desprezíveis em comparação com $h$.) (a) Se a bola maior ricocheteia elasticamente no chão e depois a bola menor ricocheteia elasticamente na maior, que valor de $m$ faz com que … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, o exercício nos diz: se a bola maior ricocheteia elasticamente no chão e depois a bola menor ricocheteia elasticamente na bola maior, qual será o valor da massa da bola menor $m$ que faz com que a bola maior pare momentaneamente no instante em que colide com a menor. A Figura 9-68 do livro exemplifica a situação.
Primeiramente, as duas bolas estão caindo em direção ao solo. Se considerarmos um eixo de coordenadas y apontando para cima, as duas bolas terão velocidade negativa. Como elas partiram do repouso e da mesma altura, a Equação de Torricelli nos dá:
$$
v^2 = v_0^2 + 2gh \Longrightarrow v = \sqrt{2gh}
\tag{1}$$
Ou seja, a velocidade das duas bolas serão iguais. Para escrever a conservação de momento, vamos considerar dois instantes. No primeiro, a bola maior, que já sofreu colisão elástica com o solo e portanto mudou sua velocidade de negativa para positiva e agora sobe (colisão elástica conserva momento e só inverte sinal da velocidade), irá colidir com a bola menor que está descendo. Num segundo momento, logo após a colisão das bolas que também é elástica, a bola de massa maior irá parar, ou seja, terá velocidade zero. Já a bola de menor massa irá ser arremessada para cima com uma velocidade $v_m$ desconhecida. Portanto, podemos escrever a seguinte conservação de momento:
$$
-mv +Mv = mv_m
\tag{2}$$
No qual a velocidade $v$ é dada pela Equação (1). Perceba que como a bola maior para no momento final, ela não contribui com momento do lado direito da equação.
$$
v_m = \frac{v(M-m)}{m}
\tag{3}$$
Como as colisões são elásticas, não há dissipação de energia e portanto, podemos aplicar conservação de energia mecânica. No momento em que a bola maior toca o solo, as duas bolas terão apenas energia cinética. No momento após a colisão da bola menor na maior, teremos apenas a contribuição da energia cinética da bola menor uma vez que a bola maior irá parar. Então, ficamos com:
$$
\frac{mv^2}{2} + \frac{Mv^2}{2} = \frac{mv_m^2}{2}
\tag{4}$$
Rearranjando:
$$
v_m^2 = \frac{v^2(m+M)}{m}
\tag{5}$$
Substituindo $v_m$ da Equação (3) na Equação (5), ficamos com:
$$
\frac{v^2(M-m)^2}{m^2} = \frac{v^2(m+M)}{m}
\tag{6}$$
Simplificando a velocidade e a massa $m$, resultamos:
$$
M^2-2mM+m^2 = m^2+mM
\tag{7}$$
No qual abrimos o quadrado do termo da esquerda e multiplicamos o fator $m$ do denominador da esquerda nos termos da direita. Agora, isolamos $m$ para finalmente chegarmos em:
$$
M^2 = 3mM \Longrightarrow m = \frac{M}{3}
\tag{8}$$
Com $M=0,63\;kg$, a bola de massa menor deve ter massa:
$$
\boxed{m = \frac{0,63\;kg}{3} = 0,21\;kg}
\tag{9}$$
Item (b):
Nesse caso considerado no item anterior, devemos calcular agora a altura máxima que a bola menor alcança. Para isso, vamos utilizar a conservação de energia mecânica entre o momento em que a bola menor é arremessada pela bola maior e o momento em que ela para por um instante antes de começar a cair novamente devido a gravidade. Então, podemos escrever que a energia cinética será transformada em energia potencial gravitacional, ou seja:
$$
\frac{mv_m^2}{2} = mgh’
\tag{10}$$
Perceba que $v_m$ pode ser calculado pela Equação (5) no qual a velocidade é dada pela Equação (1). Ou seja,
$$
\frac{mv_m^2}{2} = \frac{mv^2(M+m)}{2m} = \frac{m(\sqrt{2gh})^2(M+m)}{2m} = gh(M+m)
\tag{11}$$
Voltando a Equação (10), ficamos com:
$$
gh(M+m)=mgh’
\tag{12}$$
Isolando $h’$, que queremos calcular nesse item, temos:
$$
h’ = h\frac{(M+m)}{m} = 1,8\;m \frac{0,63\;kg+0,21\;kg}{0,21\;kg}
\tag{13}$$
O que nos dá:
$$
\boxed{h’ = 7,2\;m}
\tag{14}$$
