Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 9: Centro de Massa e Momento Linear
Exercício 59:
Enunciado:
Na Fig. 9-63, o bloco 1 (com massa de 2,0 kg) está se movendo para a direita com uma velocidade escalar de 10 m/s e o bloco 2 (com massa de 5,0 kg) está se movendo para a direita com uma velocidade escalar de 3,0 m/s. A superfície não tem atrito, e uma mola com uma constante elástica de 1120 N/m está presa no bloco 2. Quando os blocos colidem, a compressão da mola é máxima no instante em que os blocos têm a mesma velocidade. Determine… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos diz que os quando os blocos colidem, a compressão da mola é máxima no instante em que os dois blocos tem a mesma velocidade e nos pede para determinar o valor da máxima compressão da mola. A Figura 9-63 do livro exemplifica a situação.
Para resolvermos esse problema, vamos primeiramente aplicar conservação de momento linear, uma vez que temos as massas e velocidades iniciais e sabemos que a velocidade final dos dois blocos é a mesma, então podemos escrever:
$$
m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v
\tag{1}$$
Como o exercício nos diz que a superfície é sem atrito, temos apenas força conservativa atuando no sistema (força elástica), portanto, podemos aplicar a conservação de energia mecânica. Nesse caso, a variação de energia cinética dos dois blocos será transformada em energia potencial elástica da mola:
$$
\Delta K = \frac{kx^2}{2}
\tag{2}$$
No qual $x$ irá nos dar a compressão máxima da mola quando as velocidades dos blocos serem igual, e essa é justamente o que nos diz a variação de momento da Equação (1). Portanto, vamos escrever a variação de energia cinética dos blocos:
$$
\Delta K = K_f – K_i = \frac{(m_1+m_2)v^2}{2} – \left( \frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}\right)
\tag{3}$$
Mas de acordo com a Equação (1), temos:
$$
v = \frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}
\tag{4}$$
Perceba que quando substituímos essa velocidade na variação de energia, já estamos levando em conta que a compressão da mola será máxima. Substituindo $v^2$ na Equação (3), ficamos com:
$$
\Delta K = \frac{(m_1v_1+m_2v_2)^2}{2(m_1+m_2)} – \left( \frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}\right)
\tag{5}$$
Perceba que todas as massas e velocidades da Equação (5) são dadas, portanto, substituindo os valores, ficamos com:
$$
\Delta K = \frac{(2\;kg(10\;m/s)+5\;kg(3\;m/s))^2}{2(2\;kg+5\;kg)}- \left( \frac{2\;kg(10\;m/s)^2}{2}+\frac{5\;kg(3\;m/s)^2}{2}\right)
\tag{6}$$
O que nos resulta
$$
\Delta K = 35\;J
\tag{7}$$
Voltando na Equação (2) para encontrar a compressão máxima da mola, temos:
$$
35\;J = \frac{kx^2}{2}=\frac{1120\;N/m\;x^2}{2}
\tag{8}$$
Isolando $x$:
$$
\boxed{x = \sqrt{\frac{2(35\;J)}{1120\;N/m}} = 0,25\;m}
\tag{9}$$
