Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 9: Centro de Massa e Momento Linear
Exercício 70:
Enunciado:
Na Fig. 9-69, o disco 1, de massa $m_1 = 0,20 \; kg$, desliza sem atrito em uma bancada de laboratório até sofrer uma colisão elástica unidimensional com o disco 2, inicialmente em repouso. O disco 2 é arremessado para fora da bancada e vai cair a uma distância $d$ da base da bancada. A colisão faz o disco 1 inverter o movimento e ser arremessado para fora da outra extremidade da bancada, indo cair a uma distância $2d$ da base oposta. Qual é a… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
Através dessa colisão, devemos calcular a massa do disco 2. A Figura 9-69 do livro exemplifica a situação. Vamos assumir o eixo x como sendo positivo para a direita. Perceba que como não há atrito na bancada, o disco 1 não sofre perda de energia cinética e sua velocidade em x é constante. Quando os dois discos são arremessados para fora da bancada, ambos irão respeitar a relação:
$$
-2d = -v_{1f}t_1
\tag{1}$$
$$
d = v_{2f}t_2
\tag{2}$$
No qual os sinais negativos da velocidade final e da distância do bloco 1 é porque ele é arremessado para a esquerda, ou seja, pro sentido negativo de $x$. Além disso, o tempo que cada disco terá em $x$ será o tempo entre sair da mesa e chegar ao chão, portanto, esses tempos $t_1$ e $t_2$ estão relacionados com a cinética em $y$. A altura em que as duas começam a cair é a mesma, dada pela altura da mesa (h). A velocidade final que elas chegam ao chão pode ser calculada por Torricelli (lembrando que $v_{yi}=0$ para os dois discos):
$$
v_y = \sqrt{2gh}
\tag{3}$$
Perceba que a velocidade final com que os dois discos chegam ao chão não depende da massa, apenas da altura da mesa que é a mesma para as duas. Portanto, se os discos terão a mesma velocidade e percorrerão a mesma distância, eles têm o mesmo tempo de vôo, então:
$$
t_1 = t_2 = t
\tag{4}$$
Agora, vamos calcular a velocidade final dos dois discos. Primeiramente, por conservação de momento linear antes e depois da colisão, temos:
$$
m_1v_1 = -m_1v_{1f} + m_2v_{2f} \Longrightarrow m_1(v_{1i}+v_{1f}) = m_2v_{2f}
\tag{5}$$
Podemos também aplicar a conservação de energia mecânica antes e depois da colisão. Antes, só há energia cinética do bloco 1 e depois há energia cinética dos dois blocos:
$$
\frac{m_1v_{1i}^2}{2} = \frac{m_1(-v_{1f})^2}{2} + \frac{m_2v_{2f}^2}{2}
\tag{6}$$
Simplificando e escrevendo a soma do quadrado das velocidades inicial e final do bloco 1 como sendo a multiplicação de sua soma e diferença, temos:
$$
m_1(v_{1i}+v_{1f})(v_{1i}-v_{1f})=m_2v_{2f}^2
\tag{7}$$
Existem fórmulas prontas que descrevem a velocidade final dos discos em função das massas e velocidades iniciais. Mas essas fórmulas dependem da situação final e inicial dos discos (se eles começam em movimento e param ou combinações disso). Desse modo, vamos calcular essas fórmulas a partir das conservações de momento e energia que encontramos nas Equações (5) e (7).
Vamos dividir a expressão que temos para a energia pela expressão do momento, ou seja, dividir a Equação (7) pela (5):
$$
\frac{m_2v_{2f}^2}{m_2v_{2f}} = \frac{m_1(v_{1i}+v_{1f})(v_{1i}-v_{1f})}{m_1(v_{1i}+v_{1f})}
\tag{8}$$
Perceba que o denominador dos dois lado da igualdade simplificam, restando:
$$
v_{2f} = v_{1i}-v_{1f}
\tag{9}$$
Veja que conseguimos escrever a velocidade final do disco 2 em termos das velocidades final e inicial do disco 1. Vamos substituir esse resultado novamente na Equação (5), pois fazendo isso, teremos uma expressão apenas de velocidades do disco 1 e das massas:
$$
m_2(v_{1i}-v_{1f}) = m_1(v_{1i}+v_{1f}) \Longrightarrow -v_{1f}(m_1+m_2) = v_{1i}(m_1-m_2)
\tag{10}$$
Isolando a velocidade final do disco 1, teremos ela em função de da velocidade inicial e massas:
$$
v_{1f} = v_{1i}\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}
\tag{11}$$
Agora, precisamos achar uma expressão semelhante para $v_{2f}$. Para isso, vamos substituir esse resultado anterior na Equação (9):
$$
v_{2f} = v_{1i} – v_{1i}\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1} = v_{1i}\left(1-\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}\right)
\tag{12}$$
Se escrevermos $1 = (m_2+m_1)/(m_2+m_1)$, podemos juntar os dois termos dentro do parênteses e chegarmos na seguinte expressão:
$$
v_{2f} = v_{1i}\frac{2m_1}{m_1+m_2}
\tag{13}$$
Agora temos as Equações (11) e (13) que definem as velocidades finais dos dois blocos como função da velocidade inicial do bloco 1 e de suas massas. Mas perceba que o exercício não nos diz a velocidade inicial do bloco 1 ($v_{1i}$). Portanto, vamos substituir as velocidades finais nas Equações (1) e (2), lembrando que os tempos são os mesmo pela Equação (4) e dividir uma equação pela outra para eliminar $v_{1i}$:
$$
\frac{d}{-2d} = \frac{v_{1i}\frac{2m_1}{m_1+m_2}}{-v_{1i}\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}}\frac{t}{t}
\tag{14}$$
Perceba que podemos cancelar $d$, $t$ e $v_{1i}$, restando:
$$
\frac{1}{2} = \frac{2m_1}{m_2-m_1} \Longrightarrow m_2-m_1 = 4m_1
\tag{15}$$
Que finalmente nos resulta na massa do disco 2 que é o que nos é perguntado pelo exercício:
$$
\boxed{m_2 = 5m_1 = 5(0,2\;kg) = 1\;kg}
\tag{16}$$
