Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 8: Energia Potencial e Conservação da Energia
Exercício 63:
Enunciado:
O cabo do elevador de 1800 kg da Fig. 8-56 se rompe quando o elevador está parado no primeiro andar, com o piso a uma distância $d = 3,7 \; m$ acima de uma mola de constante elástica $k = 0,15 \; MN/m$. Um dispositivo de segurança prende o elevador aos trilhos laterais, de modo que uma força de atrito constante, de 4,4 kN, passa a se opor ao movimento. (a) Determine a velocidade do elevador no momento em que ele se choca com a mola. (b) Determine a máxima redução $x$ do comprimento da mola (a força de atrito continua a agir enquanto a mola está sendo comprimida). … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Para melhor visualização do problema, veja a Figura 8-56 do livro.
Nesse item, devemos determinar a velocidade do elevador no momento em que ele se choca com a mola. Vamos pensar fisicamente: se não houvesse a força de atrito, o elevador teria toda sua energia potencial gravitacional transformada em energia cinética assumindo que o referencial zero da energia potencial fosse na extremidade superior da mola relaxada.
Como existe atrito, uma parte da energia potencial deixa de se transformar em energia cinética e se torna energia dissipada pelo atrito em forma de trabalho. Nesse caso então, a energia potencial gravitacional será a soma da energia cinética com o trabalho realizado pela força de atrito:
$$
U = K + W_f
\tag{1}$$
Vale ressaltar que o atrito estático foi desprezado como o exercício diz na última linha do enunciado.
Podemos escrever a Equação (1) como:
$$
mgd = \frac{mv^2}{2} + fd
\tag{2}$$
Isolando a velocidade, ficamos com:
$$
v^2= \frac{2}{m}(mgd-fd) \Longrightarrow v = \sqrt{2d\left(g-\frac{f}{m}\right)}
\tag{3}$$
Substituindo os valores:
$$
v = \sqrt{2(3,7\;m)\left(9,8\;m/s^2-\frac{4400\;N}{1800\;kg}\right)}
\tag{4}$$
$$
\boxed{v=7,4\;m/s}
\tag{5}$$
Item (b):
Agora, vamos determinar a máxima contração da mola $x$, sabendo que o atrito continua agindo enquanto a mola é comprimida. Nesse instante, a energia cinética do elevador será transformada em energia potencial elástica devido a compressão da mola, dissipada em trabalho realizado pelo atrito e também em energia potencial gravitacional porque nós assumimos o zero da energia potencial na posição da mola relaxada, então com a mola comprimida, a energia potencial será $U = mg(-x)$.
Como o elevador para, toda a energia cinética será convertida nessas três formas de energia potencial. Podemos escrever então:
$$
K = U_{grav} + U_{mola} + W_f
\tag{6}$$
Substituindo os termos de cada energia (repare que o deslocamento usado para calcular o trabalho da força de atrito é $x$ e não mais $d$ porque estamos analisando a compressão da mola):
$$
\frac{mv^2}{2} = -mgx + \frac{kx^2}{2} + fx
\tag{7}$$
Rearranjando, vemos que temos uma equação de segundo grau em x:
$$
(k/2)x^2 + (f-mg)x – mv^2/2 = 0
\tag{8}$$
Com isso, temos que:
$$
\begin{cases}
a = k/2\\
b = f-mg\\
c = -mv^2/2
\end{cases}
\tag{9}$$
Então:
$$
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(f-mg)\pm \sqrt{(f-mg)^2-4(k/2)(-mv^2/2)}}{2(k/2)}
\tag{10}$$
Temos os valores numéricos de todos os fatores da equação acima (Cuidado com a constante elástica: $k=0,15\;MN/m = 0,15\times10^6\;N/m$). Substituindo chegamos em duas raízes, mas apenas uma positiva, que é a que usaremos para obter a distância:
$$
\boxed{x = 0,9\;m}
\tag{11}$$
Item (c):
Devemos determinar a distância que o elevador sobe de volta no poço. Vamos pensar em termos de energia. No primeiro momento, a mola está comprimida e o elevador parado na iminência de subir de novo. Então nesse momento só há energia potencial elástica. Como queremos saber a distância que o elevador sobe, o segundo momento será quando o elevador estiver novamente parado, mas dessa vez na iminência de cair novamente. Ou seja, nos dois momentos, a energia cinética é nula. Então, toda a energia potencial elástica será transformada em energia potencial gravitacional e uma parte novamente perdida por trabalho realizada pela força de atrito. Então:
$$
U_{mola} = U_{grav} + W_f
\tag{12}$$
$$
\frac{kx^2}{2} = mgd’ + fd’
\tag{13}$$
No qual d’ é a nova altura que o elevador irá atingir partindo da mola comprimida.
$$
d’ = \frac{kx^2}{2(mg+f)}
\tag{14}$$
Substituindo os valores e calculando, obtemos:
$$
\boxed{d’=2,8\;m}
\tag{15}$$
Item (d):
Nesse item, devemos calcular a distância total percorrida pelo elevador até que ele pare comprimindo a mola. Podemos relacionar essa distância com a força de atrito, uma vez que ela é a única força não conservativa do problema, portanto, ela depende da distância total percorrida enquanto as outras forças (conservativas) só dependem da posições iniciais e finais.
Para isso, vamos primeiramente saber qual o deslocamento da mola quando o elevador finalmente para em cima da mola $(x_{eq})$. Isso ocorre quando a força peso do elevador está em equilíbrio com a força elástica:
$$
mg = kx_{eq} \Longrightarrow x_{eq} = \frac{mg}{k} = 0,12\;m
\tag{16}$$
Agora, fazendo o zero da energia potencial gravitacional nesse ponto de equilíbrio entre mola e elevador, podemos escrever que a energia do sistema na situação inicial onde o elevador está na iminência de cair é:
$$
U_i = mg(x_{eq}+d)
\tag{17}$$
Na momento final, teremos a soma da energia potencial elástica mais toda a energia dissipada em trabalho da força de atrito, que como não é conservativa, depende da distância total percorrida pelo elevador, levando em conta todas as subidas e descidas necessárias para ele parar:
$$
U_f = \frac{kx_{eq}^2}{2} + fd_{total}
\tag{18}$$
Então, a conservação de energia nos dá:
$$
mg(x_{eq}+d) = \frac{kx_{eq}^2}{2}+fd_{total}
\tag{19}$$
Substituindo os valores, temos:
$$
(1800\;kg)(9,8\;m/s^2)(0,12\;m+3,7\;m) = \frac{1}{2}(1,5\times10^5\;N/m)(0,12\;m)^2 + (4400\;N)d_{total}
\tag{20}$$
Isolando $d_{total}$, resuta:
$$
\boxed{d_{total} = 15\;m}
\tag{21}$$
