Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 8: Energia Potencial e Conservação da Energia
Exercício 34:
Enunciado:
Um menino está inicialmente sentado no alto de um monte hemisférico de gelo de raio $R = 13,8 \; m$. Ele começa a deslizar para baixo com uma velocidade inicial tão pequena que pode ser desprezada (Fig. 8-47). Suponha que o atrito com o gelo é desprezível. Em que altura… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
Nesse exercício, queremos calcular em que altura ($h$) o menino perde contato com o gelo. Nesse caso, podemos utilizar a conservação de energia mecânica entre os instantes 1 e 2 mostrados na Figura 1 abaixo, lembrando que isso é possível porque a única força que realiza trabalho é a força peso que é conservativa.
Figura 1: Esquema do exercício.
Então, a conservação de energia mecânica fica:
$$
E_1 = E_2 \Longrightarrow K_1 + U_1 = K_2+U_2
\tag{1}$$
Como o exercício informou, a velocidade inicial do garoto é desprezível, então $K_1=0$. Considerando a energia potencial igual a zero na base do monte. Podemos escrever:
$$
U_1 = mgR
\tag{2}$$
Para o momento 2, a força cinética do menino devido ao fato dele escorregar é:
$$
E_2 = \frac{mv^2}{2}
\tag{3}$$
Enquanto que sua energia potencial é dada pela nova altura $h$:
$$
K_2 = mgh
\tag{4}$$
Substituindo as expressões na Equação (1), temos:
$$
0 + mgR = \frac{mv^2}{2} + mgh
\tag{5}$$
Isolando $h$, ficamos com:
$$
h = R-\frac{v^2}{2g}
\tag{6}$$
Perceba que o exercício nos deu apenas informação sobre o raio. Então, temos que encontrar uma expressão da velocidade em função do raio. Para isso, veja que queremos encontrar a altura para a qual o menino perde contato com o monte. Isso quer dizer que nesse ponto, a força normal da superfície sobre o menino se anula ($N=0$). Então, a força centrípeta de seu movimento circular será a componente da força peso na direção radial, ou seja, que aponta para o centro da semiesfera(vetor vermelho da Figura 1). Lembrando que a força peso aponta sempre na direção do vetor gravidade:
$$
F_c = Psen\theta \Longrightarrow \frac{mv^2}{R} = mgsen\theta = mg\frac{h}{R}
\tag{7}$$
Na última igualdade usamos o fato de que $sen\theta=oposto/hipot=h/R$. Isolando a velocidade chegamos na expressão:
$$
v = gh
\tag{8}$$
Substituindo a Equação (8) na Equação (6), temos:
$$
h = R – \frac{gh}{2g} = R – \frac{h}{2}
\tag{9}$$
Isolando $h$:
$$
\boxed{h = \frac{2R}{3} = \frac{2(13,8\;m)}{3} = 9,2\;m}
\tag{10}$$
