Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 8: Energia Potencial e Conservação da Energia
Exercício 33:
Enunciado:
Na Fig. 8-46, uma mola com k = 170 N/m está presa no alto de um plano inclinado, sem atrito, de ângulo $\theta = 37,0^{\circ}$. A extremidade inferior do plano inclinado fica a uma distância $D = 1,00 \; m$ da extremidade inferior da mola quando esta se encontra relaxada. Uma lata de 2,00 kg é empurrada contra a mola até esta ser comprimida 0,200 m e depois liberada. (a) Qual é a velocidade da lata no instante em que a mola retorna … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Devemos calcular a velocidade da lata no instante em que a mola volta a posição de equilíbrio, ou seja, o momento que a lata perde contato. Vamos resolver esse problema utilizando conservação de energia entre dois momentos.
$$
K_1+U_1=K_2+U_2
\tag{1}$$
O momento 1 (inicial) será o momento logo antes de soltar a lata. Ou seja, a energia cinética é nula ($K_1=0$) e a potencial é a soma da energia potencial da mola comprimida pela lata ($U_m$) e a energia potencial gravitacional ($U_g$).
$$
U_1 = U_m + U_g = \frac{kx^2}{2} + mg(D+x)sen(\theta)
\tag{2}$$
Utilizando a figura 8-46 disponibilizada pelo exercício, vamos definir que as medidas de altura serão em relação a base do plano inclinado. O eixo x será paralelo ao plano inclinado, com sentido positivo para cima e com origem na extremidade da mola relaxada. Com isso, podemos ver que a energia potencial gravitacional fica como escrevemos.
O momento 2 (final) será o momento em que a lata se desprende da mola, a qual chega no seu estado relaxado, então a energia potencial da mola nesse caso é nula e só teremos energia cinética da lata e a nova energia potencial gravitacional que só terá o termo devido a altura $h=Dsen\theta$:
$$
K_2 + U_2 = \frac{mv^2}{2}+mgDsen\theta
\tag{3}$$
Substituindo as Equações (2) e (3) na Equação (1):
$$
mg(D+x)sen\theta + \frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}+mgDsen\theta
\tag{4}$$
Agora, basta isolarmos a velocidade v, que é a velocidade da lata que o item nos pede:
$$
v = \sqrt{2gxsen\theta+\frac{kx^2}{m}}
\tag{5}$$
Substituindo os valores dados no exercício:
$$
v = \sqrt{2(9,8\;m/s^2)(0,2\;m)sen37^\circ+\frac{(150\;N/m)(0,2\;m)^2}{2\;kg}}
\tag{6}$$
$$
\boxed{v=2,4\;m/s}
\tag{7}$$
Item (b):
Nesse item, nos é pedido a velocidade da lata ao atingir a extremidade inferior do plano inclinado. Vamos aplicar conservação de energia mecânica entre dois momentos. O momento 1 será o mesmo considerado no item (a). O momento 2 (final), nesse caso, será quando a lata chega ao final do plano inclinado, como pedido no exercício. Então, no momento 2 não teremos energia potencial elástica e nem gravitacional ($h=0$ da maneira que definimos), só teremos energia cinética:
$$
K_1+U_1 = K_2 + U_2 \Longrightarrow 0+mg(D+x)sen\theta+\frac{kx^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+0
\tag{8}$$
Nesse caso, a velocidade v é a velocidade da lata quando ela chega na extremidade inferior do plano inclinado:
$$
v = \sqrt{2g(D+x)sen\theta+\frac{kx^2}{m}}
\tag{9}$$
$$
v = \sqrt{2(9,8\;m/s^2)(1\;m+0,2\;m)sen37^\circ+\frac{(150\;N/m)(0,2\;m)^2}{2\;kg}}
\tag{10}$$
$$
\boxed{v=4,2\;m/s}
\tag{11}$$
Como curiosidade, perceba a diferença entre as velocidades nos dois instantes de cada item (Equação (6) e Equação (10)). A única diferença é que o primeiro termo dentro da raíz adiciona-se o comprimento do restante do plano inclinado (D).
