Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 6: Força e Movimento II
Exercício 59:
Enunciado:
Na Fig. 6-45, uma bola de 1,34 kg é ligada por meio de dois fios, de massa desprezível, cada um de comprimento $L = 1,70 \; m$, a uma haste vertical giratória. Os fios estão amarrados à haste a uma distância $d = 1,70 \; m$ um do outro e estão esticados. A tração do fio de cima é 35 N. Determine (a) a tração do fio de baixo; … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, devemos calcular a tração do fio de baixo. O primeiro passo é fazer o diagrama de forças baseado na Figura 6-45 dada pelo exercício, mostrado na Figura abaixo:
Figura 1: Diagrama de forças da bola.
Perceba que o sentido positivo de x é para a esquerda e o sentido positivo de y é para cima. Como o movimento da bola está limitado a girar ao redor da barra, a aceleração sentido pela bola será a aceleração centrípeta, então, podemos escrever que:
$$
F = ma_c = \frac{mv^2}{R}
\tag{1}$$
A força é determinada aplicando a segunda Lei de Newton na bola. Aplicando para o eixo x e y respectivamente, temos:
$$
F = T_ccos\theta+T_bcos\theta = \frac{mv^2}{R}
\tag{2}$$
$$
T_csen\theta-T_bsen\theta-mg = 0
\tag{3}$$
Isolando a tração que não sabemos, temos:
$$
T_b = T_c – \frac{mg}{sen\theta}
\tag{4}$$
Perceba que só não temos informação do ângulo, mas podemos encontrar percebendo que o tamanho dos dois fios é igual a separação entre eles na haste, ou seja, forma um triângulo retângulo, de modo que cada ângulo tem $60^\circ$. No nosso caso, o ângulo é $2\theta$ o que dá $\theta=30^\circ$. Agora, podemos substituir os valores na Equação (4).
$$
T_b = T_c – \frac{mg}{sen\theta} = 35\;N – \frac{(1,34\;kg)(9,8\;m/s^2)}{sen\;30^\circ}
\tag{5}$$
$$
\boxed{T_b=8,74\;N}
\tag{6}$$
Item (b):
Agora vamos calcular o módulo da força resultante na bola. Perceba que a força resultante na coordenada y é zero uma vez que a bola não sobe nem desce. Então a força resultante é na direção x dada pela soma das duas trações:
$$
F_{res} = (T_c+T_b)cos\theta = (35\;N+8,74\;N)cos30^\circ
\tag{7}$$
$$
\boxed{F_{res}=37,9\;N}
\tag{8}$$
Item (c):
Nesse item, devemos calcular a velocidade escalar do movimento circular. Na Equação (1), mostramos a relação entre a velocidade e a força resultante. Para isso, precisamos calcular o raio, que nada mais é que o comprimento do fio projetado no eixo x:
$$
R = Lcos\theta = (1,7\;m)cos30^\circ = 1,47\;m
\tag{9}$$
De acordo com a Equação (1), temos:
$$
F_{res} = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{RF_{res}}{m}}
\tag{10}$$
Substituindo os valores, sendo a força resultante dada na Equação (8):
$$
\boxed{v = \sqrt{\frac{(1,47\;m)(37,9\;N)}{1,34\;kg}} = 6,45\;m/s}
\tag{11}$$
Item (d):
Agora, vamos determinar a direção da força resultante $\vec{F}_{res}$. Ela é a resultante da soma das duas trações dos fios, ambas apontando para o lado positivo de x, como definido. Portanto, a força resultante aponta para o x positivo, na direção do centro da órbita circular.
