Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 3
Capítulo 24: Potencial Elétrico
Exercício 11:
Enunciado:
Uma esfera isolante tem raio $R=2,31\;cm$ e carga uniformemente distribuída $q=+3,5\;fC$. Considere o potencial elétrico no centro da esfera como $V_0 = 0$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, devemos determinar o valor de $V$ para uma distância radial de $r=1,45\;cm$. Além disso, o exercício dá como sugestão olhar o Módulo 23-6 do livro. Nesse Módulo, o livro trás o resultado com demonstração do campo elétrico para uma esfera isolante tanto para $r\leq R$ quanto para $r\gt R$.
Portanto, aqui, vamos usar esse resultado para calcular o potencial elétrico. Sabemos que o potencial elétrico é a integral de caminho do campo elétrico. No nosso caso, a integração será de $r’=0$ até $r’=r = 1,45\;cm$. Como para esse $r$ estamos dentro da esfera carregada, o Módulo 23-6 do livro nos diz que nesse regime, o campo elétrico é dado por:
$$
E(r’) = \frac{qr’}{4\pi\epsilon_0 R^3}
\tag{1}$$
O potencial elétrico será portanto:
$$
V(r) = V_0 – \int_0^{r} E(r’)dr’
\tag{2}$$
O $r’$ é apenas uma notação para não confundirmos a variável do campo elétrico com o limite de integração superior $r$. $r’$ é o raio que irá variar de $0$ a $r$ na integral. Substituindo o campo elétrico na integral, temos:
$$
V(r) = V_0 – \int_0^{r} \frac{qr’}{4\pi\epsilon_0 R^3} dr’ = 0-\frac{qr^2}{8\pi \epsilon_0R^3}
\tag{3}$$
No qual usamos que $V_0=0$ como dado no enunciado. Com isso, basta substituirmos os valores:
$$
V(r=0,0145\;m) = -\frac{(3,5\times10^{-15}\;C)(0,0145\;m)^2}{8\pi(8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)(0,0231\;m)^3}
\tag{4}$$
O que resulta em:
$$
\boxed{-2,68\times10^{-4}\;V = -0,268\;mV}
\tag{5}$$
Item (b):
Agora, devemos fazer o mesmo cálculo para $r=R$. Esse caso ainda está no mesmo regime do caso anterior. Assim, podemos usar o resultado da Equação (3) para $V(R)$:
$$
V(R) = -\frac{q}{8\pi\epsilon_0R}
\tag{6}$$
No qual fizemos $r=R$ e simplificamos com o termo $R^3$ no denominador. Novamente, basta substituir os valores:
$$
V(R) = -\frac{(3,5\times10^{-15}\;C)}{8\pi(8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)(0,0231\;m)}
\tag{7}$$
Resultando então em:
$$
\boxed{V(R) = -6,81\times10^{-4}\;V = -0,681\;mV}
\tag{8}$$
Veja que do item (a) para o (b) o potencial elétrico aumentou em módulo, justamente devido ao maior número de cargas existentes durante o maior caminho de integração. Para $r\gt R$, esse valor começa a diminuir uma vez que começará a ter partes do caminho de integração sem carga.
