Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 3
Capítulo 24: Potencial Elétrico
Exercício 32:
Enunciado:
Uma distribuição linear de carga não uniforme dada por $\lambda=bx$, em que $b$ é uma constante, está situada no eixo $x$,entre $x=0$ e $x=0,20 \; m$. Se $b=20\;nC/m^2$ e $V=0$ no infinito… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
O exercício nos pede o potencial elétrico na origem ($x=0$). Como temos uma distribuição contínua de carga, podemos usar a Equação 24-32 do livro, em que o potencial elétrico é dado agora pela integral da carga através da extensão da distribuição linear, ou seja:
$$
V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{dq}{r}
\tag{1}$$
Apenas como lembrete, note que esse resultado para $V$ parte do fato de que o potencial é zero no infinito, como dito no enunciado, e fazemos a integral de linha do campo elétrico para uma partícula de prova deslocando até o infinito. No nosso caso, podemos escrever que um infinitésimo de carga está associado a densidade de cargas em um infinitésimo de comprimento:
$$
dq = \lambda dx = bx dx
\tag{2}$$
A distância $r$ no denominador da integral é a distância entre onde estamos integrando e o ponto em que estamos interessados em calcular o potencial elétrico ($x=0$), nesse caso, como estamos integrando apenas no eixo $x$, $r=x$ com limite de integração entre $0$ e $0,2\;m$ em que está situado a distribuição dado no exercício. Com isso, o potencial elétrico fica:
$$
V= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{0,2}\frac{bx dx}{x} = \frac{b}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{0,2}dx = \frac{0,2b}{4\pi\epsilon_0} = \frac{0,2\;m(20\times10^{-9}\;C/m^2)}{4\pi(8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)}
\tag{3}$$
O que nos resulta em:
$$
\boxed{V=36\;V}
\tag{4}$$
Item (b):
Agora, o exercício nos pede para calcular o potencial elétrico em $y=0,15\;m$ do eixo $y$. Portanto, nosso valor de $r$ no denominador irá mudar. Ainda iremos integrar em $x$ de $0$ a $0,2\;m$ uma vez que nossa integral é na distância que a carga está distribuída. Mas agora estamos avaliando o potencial elétrico num ponto no eixo $y$, portanto, a distância entre um ponto em $x$ da distribuição de cargas e esse ponto em $y$ é dado por Pitágoras:
$$
r = \sqrt{x^2+y^2}
\tag{5}$$
Lembrando que $y$ é um valor dado no exercício. Desse modo, a nova integral será:
$$
V = \frac{b}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{0,2}\frac{x dx}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{b}{4\pi\epsilon_0} (\sqrt{x^2+y^2}) \Big|_0^{0,2}
\tag{6}$$
Substituindo os valores:
$$
V = \frac{20\times10^{-9}\;C/m^2}{4\pi(8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)}\left(\sqrt{(0,2\;m)^2+(0,15\;m)^2}-\sqrt{(0)^2+(0,15\;m)^2}\right)
\tag{7}$$
Veja que o limite de integral em $0$ não zera o termo devido ao termo $y^2$ dentro da raiz. Isso nos resulta:
$$
\boxed{V = 18\;V}
\tag{8}$$
