Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 3
Capítulo 24: Potencial Elétrico
Exercício 10:
Enunciado:
Dois planos infinitos, isolantes, uniformemente carregados, são paralelos ao plano $yz$ e estão posicionados em $x=-50;cm$ e $x=50;cm$;. As densidades de carga dos planos são $-50;nC/m^2$ e $+25;nC/m^2$, respectivamente…. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pergunta o valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto do eixo $x$ dado por $x=80;cm$. Como sugestão, ele nos diz para usarmos a Lei de Gauss. A Lei de Gauss aqui é usada para determinarmos o campo produzido por essas placas. Como mostrado na seção 23-5 do livro, podemos aplicar uma superfície cilíndrica que atravessa o plano, de modo que teremos campo somente nas bases do cilindro e o campo elétrico será dado por:
$$
int EdA = frac{q_{env}}{epsilon_0} Longrightarrow EA+EA = frac{sigma A}{epsilon_0} Longrightarrow E = frac{sigma}{2epsilon_0}
tag{1}$$
A direção do campo vai depender do sinal da densidade de cargas e da posição em que estamos analisando. Quando temos uma placa com densidade de cargas positivas, as linhas de campo ‘saem’ da placa, perpendiculares a ela devido ao plano ser infinito. Por sua vez, uma placa com densidade de cargas negativa tem as linhas de campo ‘chegando’ na placa, como mostrado na Figura abaixo.
Figura 1: Par de placas paralelas isolantes em azul e superfície gaussiana em cinza.
O potencial elétrico é a integral de caminho do campo elétrico entre os pontos que estamos interessados. Veja que o exercício quer da origem até $x=80;cm$. Isso quer dizer que temos uma parte do caminho entre as duas placas ($E_{int}$) e outra parte a direita da placa em $x=50;cm$ ($E_{ext}$). Com isso, vendo a Figura abaixo, observe que internamente os campos produzidos pelas placas tem mesmo sentido enquanto que externamente, eles tem sentidos opostos. Portanto, vamos calcular o campo elétrico total para cada um desses regimes. Na região entre as placas ($x$ entre $0$ e $50;cm$ para calcular o potencial elétrico), os campos devido as duas placas apontam para o sentido negativo de $x$, portanto, levando isso em conta e usando a Equação (1):
$$
E_{int} = -left(frac{50times10^{-9};C/m^2}{2(8,85times10^{-12};C^2/Nm^2)}+frac{25times10^{-9};C/m^2}{2(8,85times10^{-12};C^2/Nm^2)}right)hat{i} = -(4,2times10^3;N/C)hat{i}
tag{2}$$
Já na região entre $50;cm$ e $80;cm$, teremos um campo negativo devido a placa da esquerda e um campo positivo devido a placa da direita (veja Figura). Com isso, temos:
$$
E_{ext} = -frac{50times10^{-9};C/m^2}{2(8,85times10^{-12};C^2/Nm^2)}hat{i}+frac{25times10^{-9};C/m^2}{2(8,85times10^{-12};C^2/Nm^2)}hat{i} = -(1,4times10^3;N/C)hat{i}
tag{3}$$
Agora que conhecemos o campo, podemos aplicar a expressão para o potencial elétrico entre $0$ e $80;cm = 0,8;m$:
$$
V = -int_0^{0,8} vec{E}cdot dvec{s} = -left(-int_0^{0,5} E_{int}dx-int_{0,5}^{0,8} E_{ext}dxright)
tag{4}$$
Os sinais de menos antes das integrais vem do fato de que para as duas regiões, o campo elétrico (que aponta para a esquerda) está no sentido oposto a do vetor caminho (que aponta para a direita), resultando no sinal negativo ao fazer o produto escalar. Como o campo elétrico não depende de $x$, a integral é trivial:
$$
V = (4,2times10^3;N/C)(0,5;m) + (1,4times10^3;N/C)(0,3;m)
tag{5}$$
O que nos leva a resposta final:
$$
boxed{V=2,5times10^3;V = 2,5;kV}
tag{6}$$
