Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 2
Capítulo 15: Oscilações
Exercício 55:
Enunciado:
Um pêndulo é formado suspendendo por um ponto uma barra longa e fina. Em uma série de experimentos, o período é medido em função da distância x entre o ponto de suspensão e o centro da barra. (a) Se o comprimento da barra é L = 2,20 me a massa é m = 22,1 g… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
O exercício nos pergunta qual o menor período se o comprimento da barra é $L=2,2\;m$ e massa $m=22,1\;g$. Segundo a Equação 15-29 do livro, o período do pêndulo físico é dado por:
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}
\tag{1}$$
No qual $m$ é a massa do pêndulo, $I$ seu momento de inércia e $h$ a distância entre o centro de massa da barra e o ponto de suspensão. Para calcular o momento de inércia, voltamos na Tabela 10-2 do livro e vemos que o momento de inércia de uma barra fina com o eixo passando pelo centro da barra é:
$$
I = \frac{mL^2}{12}
\tag{2}$$
Através do Teorema dos Eixos Paralelos, temos que o momento de inércia da barra quando o ponto de suspensão está a uma distância $h$ do centro da barra é:
$$
I = \frac{mL^2}{12} + mh^2
\tag{3}$$
Substituindo essa expressão na Equação (1):
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{m(L^2/12+h^2)}{mgh}} = 2\pi \sqrt{\frac{L^2+12h^2}{12gh}}
\tag{4}$$
O item nos pergunta qual o menor período do pêndulo dependendo do valor $d$. Portanto, para minimizar o valor de $T$, basta derivarmos $T$ em relação a $d$ e igualarmos a 0:
$$
\frac{dT}{dh} = 2\pi \frac{1}{2} \left(\frac{(24h)(12gh) – (L^2+12h^2)(12g)}{144g^2h^2}\right)^{(-1/2)} = 0
\tag{5}$$
Simplificando o termo $12g$:
$$
\frac{\pi}{g} \left(\frac{24h^2 – (L^2+12h^2)}{12gh^2}\right)^{(-1/2)} =\frac{\pi}{g} \left(\frac{-L^2+12h^2}{12gh^2}\right)^{(-1/2)} = 0
\tag{6}$$
Portanto, essa expressão só será 0 se:
$$
-L^2+12h^2 = 0 \Longrightarrow h = \frac{L}{\sqrt{12}}
\tag{7}$$
Então encontramos o valor de $h$ tal que $T$ é mínimo. Substituindo esse resultado na Equação (4), temos:
$$
T_{min} = 2\pi \sqrt{\frac{L^2+12(L/\sqrt{12})^2}{12g(L/\sqrt{12})}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{\sqrt{12}g}}
\tag{8}$$
Substituindo os valores numéricos:
$$
\boxed{T = 2\pi \sqrt{\frac{2(2,2\;m)}{\sqrt{12}(9,8\;m/s^2)}} = 2,26\;s}
\tag{9}$$
Item (b):
Nesse item, o exercício nos pergunta o que ocorre com o período se $x$ é escolhido para minimizar o período e $L$ é aumentado. Para isso, podemos analisar a Equação (8), que é justamente a expressão para o período com $x$ sendo a distância $h$ que minimiza o período. Olhando para a expressão, vemos que se $L$ aumenta, então o período também irá aumentar.
Item (c):
Agora, se $L$ é mantido constante e a massa $m$ é aumentada, o que ocorre com o período. De novo, podemos olhar para a Equação (8) e ver que o período não depende da massa da barra. Desse modo, o período permanece o mesmo quando a massa $m$ aumenta.
