Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 2
Capítulo 15: Oscilações
Exercício 56:
Enunciado:
Na Fig. 15-50, um disco de 2,50 kg com D = 42,0 cm de diâmetro está preso a uma das extremidades de uma barra, de comprimento L = 76,0 cm e massa desprezível, que está suspensa pela outra extremidade. (a) Com a mola de torção de massa desprezível desconectada, qual é o período… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Um disco de $m=2,5\;kg$ com diâmetro $D=42\;cm$ está preso a uma das extremidades de uma barra de comprimento $L=76\;cm$ e massa desprezível.
Item (a):
O exerício nos diz sobre uma mola de torção que nesse item está desconectada do sistema e ele nos pergunta o período de oscilação do sistema disco + barra. Como a mola de torção não está conectada, o período do sistema será dado pela expressão do período do pêndulo físico:
$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}}
\tag{1}$$
Veja que como a barra tem massa desprezível, ela não tem momento de inércia, portanto, o momento de inércia do sistema será apenas devido ao disco. Usando a Tabela 10-2 e o Teorema dos Eixos Paralelos, temos que o momento de inércia do disco é:
$$
I = m(D/2)^2/2 + mh^2 = (2,5\;kg)(0,21\;m)^2/2 + (2,5\;kg)(0,97\;m)^2 = 2,41\;kgm^2
\tag{2}$$
No qual usamos que $h = D/2 + L = 0,21\;m+0,76\;m=0,97\;m$ é a distância entre o eixo de rotação da barra e o centro do disco. Portanto, substituindo os valores na Equação (1):
$$
\boxed{T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}} = 2\pi \sqrt{\frac{2,41\;kgm^2}{(2,5\;kg)(9,8\;m/s^2)(0,97\;m)}} = 2\;s}
\tag{3}$$
Item (b):
Nesse item, conectamos a mola de torção de modo que a barra fica em equilíbrio na vertical. O item nos pergunta qual a constante de torção da mola se o período de oscilação diminui de $0,5\;s$. Perceba que agora teremos físicamente duas forças restauradoras em paralelo, ou seja, tanto o termo do pêndulo físico quanto o termo do pêndulo de torção, ou seja:
$$
T’ = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mgh+\kappa}}
\tag{4}$$
Isolando a constante de torção $\kappa$, ficamos com:
$$
\kappa = \frac{4\pi^2I}{T’^2} – mgh
\tag{5}$$
Também nos foi dito no enunciado que:
$$
T’ = T – 0,5\;s = 2\;s – 0,5\;s = 1,5\;s
\tag{6}$$
Substituindo as Equações (6) e (2) na Equação (5), chegamos no resultado:
$$
\boxed{\kappa = \frac{4\pi^2(2,41\;kgm^2)}{(1,5\;s)^2}-(2,5\;kg)(9,8\;m/s^2)(0,97\;m)=18,5\;Nm/rad}
\tag{7}$$
