Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 2
Capítulo 15: Oscilações
Exercício 37:
Enunciado:
Uma mola, de massa desprezível, está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição $y_i$ tal que a mola se encontra no estado relaxado. Em seguida, o objeto é liberado e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição mais baixa 10 cm abaixo de… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, queremos calcular a frequência das oscilações. Primeiramente, perceba que o ponto de equilíbrio não é o ponto em que a mola se encontra relaxada ($y_i$), uma vez que temos o efeito da gravidade no problema. O objeto irá oscilar entre as posições $y_i$ e $y_i-10\;cm$ com ponto de equilíbrio no ponto médio, ou seja, $y_i-5\;cm$. O ponto de equilíbrio do objeto será o ponto ($x$) tal que as forças elástica e gravitacional se igualam, ou seja:
$$
kx = mg \Longrightarrow \frac{k}{m} = \frac{g}{x}
\tag{1}$$
No qual $x$ é o alongamento da mola na posição de equilíbrio. Portanto, podemos escrever que a frequência de oscilação é:
$$
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{x}}
\tag{2}$$
Onde na segunda igualdade usamos que $\omega^2 = k/m$ e na terceira igualdade usamos o resultado da Equação (1). Veja que podemos assumir o zero da posição em $y_i$ e portando a posição de equilíbrio da mola será em $x=5\;cm$. Portanto, temos que:
$$
\boxed{f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{x}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{9,8\;m/s^2}{0,05\;m}} = 2,2\;Hz}
\tag{3}$$
Item (b):
Agora, vamos encontrar a velocidade do objeto quando ele se encontra a $8\;cm$ abaixo de $y_i$. Nesse caso, podemos utilizar a conservação de energia mecânica do sistema. Escolhendo o zero da energia potencial do sistema na posição $y_i$, resulta que a energia cinética e potencial inicial é zero. Se tomarmos o sentido do eixo $y$ como positivo para baixo, a posição final é $y=+0,08\;m$. A energia mecânica do sistema nesse ponto será a soma das energias potenciais elástica e gravitacional e a energia cinética. Igualando a energia mecânica nas posições finais e iniciais, temos:
$$
0 = \frac{ky^2}{2}-mgy+\frac{mv^2}{2}
\tag{4}$$
Isolando a velocidade:
$$
v = \sqrt{2gy – \frac{k}{m}y^2} = \sqrt{2gy – \frac{g}{x}y^2}
\tag{5}$$
No qual usamos o resultado da Equação (1) na última igualdade. Substituindo os valores, ficamos com a resposta para esse item:
$$
\boxed{v = \sqrt{2(9,8\;m/s^2)(0,08\;m)-\frac{9,8\;m/s^2}{0,05\;m}(0,08\;m)^2} = 0,56\;m/s}
\tag{6}$$
Item (c):
O enunciado nos diz que agora um objeto de massa $m=0,3\;kg$ é preso ao objeto dos itens anteriores. Com isso, o sistema passa a oscilar com metade da frequência de oscilação original. Devemos calcular a massa do primeiro objeto, que vamos denotar por $m$, enquanto a massa do segundo objeto vamos denotar por $\Delta m$.
Podemos escrever a nova frequência angular como sendo:
$$
\omega’ = \sqrt{\frac{k}{m+\Delta m}}
\tag{7}$$
Como foi dito, essa frequência é metade da frequência anterior, ou seja:
$$
\omega’ = \frac{1}{2}\omega \Longrightarrow \sqrt{\frac{k}{m+\Delta m}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}
\tag{8}$$
Elevando os dois lados ao quadrado, dividindo por $k$ e tomando o recíproco de ambos, ficamos com:
$$
m + \Delta m = 4m
\tag{9}$$
Isolando $m$, resultamos em:
$$
\boxed{m = \frac{\Delta m}{3} = \frac{0,3\;kg}{3} = 0,1\;kg}
\tag{10}$$
Item (d):
Nesse item, devemos calcular a que distância abaixo de $y_i$ está a nova posição de equilíbrio com os dois objetos presos a mola. Na posição de equilíbrio, sabemos que a força gravitacional deve se igualar a força elástica da mola, ou seja:
$$
ky = (m+\Delta m)g
\tag{11}$$
Podemos também escrever a relação entre $k$ e a frequência $f$:
$$
\omega^2 = \frac{k}{m} \Longrightarrow k = m\omega^2 = m(2\pi f)^2
\tag{12}$$
No qual usamos o fato de que $\omega = 2\pi f$. Usando o resultado da Equação (12) na Equação (11) e isolando $y$, temos:
$$
y = \frac{(m+\Delta m)g}{m(2\pi f)^2}
\tag{13}$$
Substituindo os valores, temos:
$$
\boxed{y = \frac{0,1\;kg+0,3\;kg(9,8\;m/s^2)}{(0,1\;kg)^2} = 0,2\;m}
\tag{14}$$
