Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 20:
Enunciado:
Na Fig. 4-32, a partícula A se move ao longo da reta y = 30 m com uma velocidade constante $vec{v}$ de módulo 3,0 m/s, paralela ao eixo x. No instante em que a partícula A passa pelo eixo y, a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (Único):
O exercício nos pergunta que valor de $\theta$ entre o vetor aceleração e o semieixo $y$ positivo para que aconteça a colisão entre as partículas. A Figura 4-32 do Livro ilustra o problema. A primeira coisa a se notar é que $\theta$ é medido a partir do eixo $y$. Vamos encontrar a equação de posição da partícula B:
$$
y_B = v_0t + \frac{a_yt^2}{2} = \frac{a_yt^2}{2} = \frac{(a\cos\theta) t^2}{2}
\tag{1}$$
No qual usamos o fato de que para B, $v_0=0$ e que $a_y$ é a componente $y$ da aceleração dado por $a\cos\theta$. A componente $y$ da partícula A é dada simplesmente por $y_A=30\;m$ constante uma vez que seu movimento é horizontal. Como queremos que as partículas colidam em algum instante, vamos igualar a posição das duas partículas:
$$
y_B=y_A \Longrightarrow 30\;m = \frac{(a \cos\theta)t^2}{2}
\tag{2}$$
Perceba que temos uma equação para duas incógnitas ($t$ e $\theta$). Portanto, precisamos de mais uma relação entre a posição das partículas, ou seja, vamos igualar a equação de movimento delas mas dessa vez para a componente $x$. Para a partícula B, teremos a equação de movimento com a componente $x$ da aceleração ($a\;sen\theta$):
$$
x_B = \frac{a_xt^2}{2} = \frac{(a\;sen\theta) t^2}{2}
\tag{3}$$
A equação de movimento para a partícula A será dada pela equação horária do movimento com $a=0$, restando apenas:
$$
x_A = v_At
\tag{4}$$
Igualando as posições das partículas em $x$:
$$
x_B=x_A \Longrightarrow v_At = \frac{(a\;sen\theta)t^2}{2}
\tag{5}$$
As equações (2) e (5) nos dão um sistema de duas equações e duas incógnitas. Vamos começar resolvendo esse sistema isolando o tempo na equação acima:
$$
t = \frac{2v_A}{(a\;sen\theta)}
\tag{6}$$
Agora, vamos substituir essa relação para $t$ na Equação (2):
$$
30\;m = \frac{(a\cos\theta)}{2}\left(\frac{2v_A}{a\;sen\theta}\right)^2 = \frac{2v_A^2}{a}\frac{\cos\theta}{sen^2\theta}
\tag{7}$$
Vamos usar que $sen^2\theta = 1-cos^2\theta$ e vamos substituir os valores numéricos para $v_A$ e $a$:
$$
1-\cos^2\theta = \frac{2(3\;m/s)^2}{0,4\;m/s^2(30\;m)}\cos\theta = 1,5\cos\theta
\tag{8}$$
Com isso, ficamos com uma equação do segundo grau em $\cos\theta$ dada por:
$$
\cos^2\theta+1,5\cos\theta-1 =0
\tag{9}$$
Resolvendo por Bhaskara:
$$
\cos\theta = \frac{-1,5\pm\sqrt{1,5^2-4(1)(-1)}}{2}
\tag{10}$$
O que resulta em $\cos\theta = -2$ ou $\cos\theta=1/2$. Para termos colisão entre as partículas, $0<\theta<\pi/2$ (veja Figura do livro). Com isso, vamos usar segundo resultado: $$ \cos\theta = \frac{1}{2} \tag{11}$$ Que resulta em: $$ \boxed{\theta = \cos^{-1}(1/2) = 60^{\circ}} \tag{12}$$
