Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 2
Capítulo 13: Gravitação
Exercício 69
Enunciado:
Duas pequenas espaçonaves, ambas de massa m = 2000 kg, estão na órbita circular em torno da Terra da Fig. 13-51, a uma altitude h de 400 km. Kirk, o comandante de uma das naves, chega a qualquer ponto fixo da órbita 90 s antes de Picard, o comandante da segunda nave. Determine… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Duas espaçonaves de massa $m=2000\;kg$ estão em órbita circular em torno da Terra a uma altitude $h=400\;km$;
- A nave de Kirk chega a qualquer ponto fixo da órbita 90 segundos antes da nave de Picard.
Item (a):
Nesse item, devemos determinar o período $T_0$ das naves. A Lei dos Períodos (Equação 13-34 do livro) relaciona o raio da órbita com seu período:
$$T_0 = \sqrt{\frac{4\pi^2r^3}{GM}} \tag{1}
$$
No qual $M$ é a massa da Terra. O raio da órbita é obtido somando a altitude da aeronavo com o raio da Terra $R_T$:
$$r = R_T + h = 6370\;km + 400\;km = 6,77\times10^6\;m \tag{2}
$$
Com isso, temos:
$$\boxed{T_0 = \sqrt{\frac{4\pi^2(6,77\times10^6\;m)^3}{(6,67\times10^{-11}m^3/s^2kg)(5,98\times10^{24}\;kg)}} = 5,54\times10^3\;s \approx 92,3\;min} \tag{3}
$$
Item (b):
Nesse item, devemos calcular a velocidade $v_0$ das aeronaves. Para isso usamos o fato da velocidade ser o comprimento da circunferência da órbita divido pelo tempo necessário para percorrer a órbita:
$$\boxed{v_0 = \frac{2 \pi r}{T_0} = \frac{2\pi(6,77\times10^6\;m)}{5,54\times10^3\;s} = 7,68\times10^3\;m/s} \tag{4}
$$
Item (c):
Agora, o exercício nos diz que no ponto P da órbita, mostrado na Figura 13-51 do livro, Picard dispara um retrofoguete instantâneo na direção tangencial da órbita, reduzindo a velocidade da nave em 1\%. Com isso, a nave assume uma órbita elíptica representada pela linha tracejada na Figura do livro. Nesse item, devemos determinar a energia cinética da nave logo após o disparo. A energia cinética é dada por:
$$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(0,99v_0)^2 \tag{5}
$$
No qual usamos o fato de que após o disparo a velocidade caiu 1\% de seu valor inicial. Subsitutindo os valores, temos:
$$\boxed{K = \frac{1}{2}(2000\;kg)(0,99)^2(7,68\times10^3\;m/s)^2 = 5,78\times10^{10}\;J} \tag{6}
$$
Item (d):
Agora, vamos calcular a energia potencial. Logo depois do disparo, podemos assumir que o raio da óbita ainda praticamente não mudou e portanto, a energia potencial se mantém a mesma de antes do disparo, ou seja:
$$\boxed{U = -\frac{GMm}{r} = -\frac{(6,67\times10^{-11}\;m^3/s^2kg)(5,98\times10^{24}\;kg)(2000\;kg)}{6,77\times10^6\;m} = -1,18\times10^{11}\;J} \tag{7}
$$
Item (e):
Agora, precisamos calcular a nova energia total da nave, que é justamente a soma das energias cinética e potencial calculadas nos itens anteriores:
$$\boxed{E = K+U = 5,78\times10^{10}\;J + (-1,18\times10^{11}\;J) = -6,02\times10^{10}\;J} \tag{8}
$$
Item (f):
Nessa nova órbita elíptica, devemos calcular o semieixo maior $a$ da elípse. De acordo com a Equação 13-42, a energia é dada por:
$$E = -\frac{GMm}{2a} \tag{9}
$$
Isolando $a$ e usando a energia calculada no item anterior, temos:
$$\boxed{a = -\frac{GMm}{2E} = -\frac{(6,67\times10^{-11}\;m^3/s^2kg)(5,98\times10^{24}\;kg)(2000\;kg)}{2(-6,02\times10^{10}\;J)} = 6,63\times10^6\;m} \tag{10}
$$
Item (g):
Nesse item, devemos calcular o novo período orbital $T$. Usando a Lei dos Períodos, temos:
$$\boxed{T = \sqrt{\frac{4\pi^2a^3}{GM}} = \sqrt{\frac{4\pi^2(6,63\times10^6\;m)^3}{(6,67\times10^{-11}\;m^3/s^2kg)(5,98\times10^{24}\;kg)}} = 5,37\times10^3\;s \approx 89,5\;min} \tag{11}
$$
Perceba que o período diminuiu em relação a órbita anterior, que era maior.
Item (h):
Nesse item, o exercício nos pergunta quanto tempo Picard chega ao ponto P antes de Kirk. Como a nave de Picard diminuiu seu período em relação a nave de Kirk, a diferença entre o período das duas naves é de:
$$\Delta T = T_0-T = 5540\;s – 5370\;s = 170\;s \tag{12}
$$
Ou seja, a nave de Picard percorre sua órbita 170 segundos mais rápido que a de Kirk. Como o exercício nos disse que a nave de Kirk chegava 90 segundos mais rápido que a de Picard no ponto P quando as duas estavam na mesma órbita, então agora a nave de Picard chega mais rápido que a nave de Kirk com um tempo de:
$$\boxed{T_P = 170\;s – 90\;s = 80\;s} \tag{13}
$$
Ou seja, Picard chega de volta ao ponto P 80 segundos ante da nave de Kirk.
