Exercício 64, Capítulo 11, Fundamentos de Física Vol. 1: bailarina

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 11: Rolagem, Torque e Momento Angular

Exercício 64:

Enunciado:

Uma bailarina começa um tour jeté (Fig. 11-19a) com uma velocidade angular $\omega_i$ e um momento de inércia formado por duas partes: $I_{perna} = 1,44 \; kg \cdot m^2$ da perna estendida, que faz um ângulo $\theta = 90,0^{\circ}$ com o corpo, e $I_{tronco} = 0,660 kg \cdot m^2$ do resto do corpo (principalmente o tronco). Quando está quase atingindo a altura máxima, as duas pernas fazem um ângulo $\theta = 30^{\circ}$ com o corpo… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

Supondo que $I_{tronco}$ permanece o mesmo, devemos calcular $\omega_f/\omega_i$. As Figuras 11-19a e 11-19b do livro mostram o movimento da bailarina. Uma vez que nenhuma força externa atual sobre a bailarina, seu momento angular vai permanecer constante durante o movimento. Portanto:

$$
L_f = L_i \Longrightarrow I_i\omega_i = I_f\omega_f
\tag{1}$$

E com isso, teremos a resposta do exercício calculando os momentos de inércia nos dois momentos do movimento:

$$
\frac{\omega_f}{\omega_i} = \frac{I_i}{I_f}
\tag{2}$$

Inicialmente, teremos o momento de inércia do tronco e o momento de inércia de uma das pernas estendida:

$$
I_i = I_{tronco}+I_{perna} = 0,660\;kgm^2+1,44\;kgm^2 = 2,10\;kgm^2
\tag{3}$$

O momento de inércia final será o momento de inércia do tronco, que foi dito que permanece o mesmo, mas agora teremos duas pernas a $30^{\circ}$ ao invés de uma a $90^{\circ}$. Podemos pensar que o comprimento efetivo da perna é a projeção dela na direção que faz $90^{\circ}$ com o tronco, ou seja:

$$
l_{efetivo} = lsen\theta
\tag{4}$$

O momento de inércia pode ser pensando como proporcional ao quadrado do comprimento efetivo da perna. Podemos entender essa suposição se pensarmos que momento de inércia tem unidade de $kgm^2$, então, para termos a unidade de $m^2$, podemos dizer que $I \propto l_{efetivo}^2$, de modo que:

$$
I_f = I_{tronco} + 2I_{perna}sen^2\theta
\tag{5}$$

O fator $2$ é devido a serem duas penas, o que nos dá:

$$
I_f = 0,660\;kgm^2 + 2(1,44\;kgm^2)sen^2(30^{\circ}) = 1,38\;kgm^2
\tag{6}$$

Através das Equações (6) e (3), chegamos ao resultado final:

$$
\boxed{\frac{\omega_f}{\omega_i} = \frac{I_i}{I_f} = \frac{2,10\;kgm^2}{1,38\;kgm^2} = 1,52}
\tag{7}$$