Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Capítulo 12: Equilíbrio e Elasticidade
Exercício 51
Enunciado:
Fig. 12-62 é a vista superior de uma barra rígida que gira em torno de um eixo vertical até entrar em contato com dois batentes de borracha exatamente iguais, A e B, situados a $r_A = 7,0 \; cm$ e $r_B = 4,0 \;cm$ de distância do eixo. Inicialmente, os batentes estão encostados nas paredes sem sofrer compressão….. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Barra rígida gira em torno de um eixo vertical até entrar em contato com um batente de cada lado da barra, A e B;
- A distância de cada batente até o eixo de rotação da barra é $r_A=7\;cm$ e $r_B=4\;cm$;
- Inicialmente, os batentes não sofrem compressão;
- Depois, uma força $| \vec{F}|=200\;N$ é aplicada perpendicularmente a barra a uma distância $R=5\;cm$ do eixo.
Item (a):
Nesse item, devemos calcular o módulo da força que comprime o batente A. A Figura 12-62 do livro exemplifica a situação. Vamos definir que a forças forças que comprimem o batente A e B são $F_A$ e $F_B$. Como os batentes comprimidos e a barra estarão em equilíbrio, a soma do torque total será nulo. Se considerarmos o torque da barra nos batentes como positivo, então o torque do batente na barra será contrário, ou seja, negativo, resultando:
$
FR – r_AF_A-r_BF_B = 0 \Longrightarrow FR = r_AF_A + r_BF_B \tag{1}
$
Se os batentes encurtam de um comprimento $|\Delta y_A|$ e $|\Delta y_B|$, podemos dizer que se a barra gira um pequeno ângulo $\theta$ devido a compressão dos batentes, então podemos reescrever os encurtamentos como sendo:
$
|\Delta y_A| = r_A\theta \tag{2}
$
$
|\Delta y_B| = r_B\theta \tag{3}
$
Basicamente, escrevemos um comprimento de arco como sendo a multiplicação do raio e do ângulo do arco. Agora, podemos pensar que o fato dos batentes comprimirem acontece devido a sua constante elástica $k$ que vamos assumir ser o mesmo para os dois batentes pois o exercício diz que eles são exatamente iguais. Lembrando que a constante elástica está relacionada com a força aplicada e o comprimento de compressão:
$
k = \frac{F}{|\Delta y|} \tag{4}
$
Como os k’s são iguais para os dois batentes, podemos igualar a relação da Equação (4) para os dois:
$
\frac{F_A}{r_A\theta} = \frac{F_B}{r_B\theta} \tag{5}
$
Onde usamos as relações (2) e (3) substituindo $|\Delta y|$. Como o ângulo $\theta$ deve ser igual para os dois batentes pois ele está restringido pela barra girante, portanto, podemos simplificá-la, resultando:
$
\frac{F_A}{r_A} = \frac{F_B}{r_B} \tag{6}
$
As Equações (1) e (6) são duas equações para duas incógnitas ($F_A$ e $F_B$). Para encontrar $F_A$, que é a pergunta desse item, podemos isolar $F_B$ na Equação (6) e substituir na Equação (1), ficando com:
$FR = r_AF_A + r_B\frac{r_BF_A}{r_A} =F_A\left(\frac{r_A^2+r_B^2}{r_A}\right)$ \tag{7}
Que finalmente, nos dá:
$
\boxed{|F_A| = \frac{FRr_A}{r_A^2+r_B^2} = \frac{(200\;N)(5\;cm)(7\;cm)}{(7\;cm)^2+(4\;cm)^2}=118\;N}
$
Item (b):
Agora, o exercício nos pede para calcular $F_B$. Para isso, basta isolarmos $F_A$ na Equação (6) e substituir na Equação (1), como fizemos no item anterior, o que resulta em:
$
\boxed{|F_B|=\frac{FRr_B}{r_A^2+r_B^2} = \frac{(200\;N)(5\;cm)(4\;cm)}{(7\;cm)^2+(4\;cm)^2}=68\;N}
$
Perceba que a força é maior no batente do lado em que a força $F$ é aplicada na barra, como faz sentido que fosse. O módulo nos resultados finais é só para dizer que não nos preocupamos com a direção da força. Mas basta analisar o exercício para ver que a $F_A$ aponta para cima, na direção de $\vec{F}$, enquanto que $F_B$ aponta para baixo.
