Exercício 34, Capítulo 16, Fundamentos de Física Vol. 2: onda senoidal

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 16: Ondas-I

Exercício 34:

Enunciado:

Uma onda senoidal de frequência angular de 1200 rad/s e amplitude 3,00 mm é produzida em uma corda de massa específica linear 2,00 g/m e 1200 N de tração. (a) Qual é a taxa média com a qual a energia é transportada… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

O exercício nos pergunta qual a taxa média com a qual a energia é transportada pela onda para a extremidade oposta da corda. Essa grandeza é medida justamente pela potência média, que é dada por (Equação 16-33 do capítulo):

$$
P_m = \frac{1}{2}\mu v \omega^2 y_m^2
\tag{1}$$

Perceba que não nos foi informada a velocidade da corda, mas podemos utilizar a relação entre velocidade e tração da corda, dada por:

$$
v = \sqrt{\frac{\tau}{\mu}}
\tag{2}$$

Substituindo na Equação (1):

$$
P_m = \frac{1}{2} \sqrt{\mu}\sqrt{\tau}\omega^2y_m^2
\tag{3}$$

Aplicando os valores numéricos, resultamos em:

$$
\boxed{P_m = \frac{1}{2} \sqrt{0,002\;kg/m}\sqrt{1200\;N}(1200\;rad/s)^2(3\times10^{-3}\;m)^2 = 10\;W}
\tag{4}$$

Item (b):

Agora, o exercício nos diz que uma onda idêntica se propaga numa corda vizinha também igual a primeira e nos perguta qual a taxa média de energia transportada pelas ondas para as extremidades opostas das duas cordas. Perceba que as ondas não se propagam na mesma corda, então não há nenhuma interferência entre elas, desse modo, duas cordas iguais irão propagar o dobro de energia, ou seja:

$$
\boxed{P_m = 20\;W}
\tag{5}$$

Item (c):

Agora, as duas ondas são produzidas ao mesmo tempo na mesma corda. Nesse caso, terá efeito de interferência entre elas. O exercício nos pergunta qual a taxa média de energia transportada quando a fase entre as duas ondas é 0. Como não há fase entre as ondas, elas tem seus máximos na mesma posição, ou seja, interferência totalmente construtiva. Podemos pensar nisso como sendo uma única onda mas agora com o dobro de amplitude $y_m$.

Perceba que como $y_m$ está elevado ao quadrado na expressão de $P_m$, quando dobramos a amplitude, $P_m$ é aumentado em 4 vezes. Portanto, a taxa média de energia média transportada nesse caso é:

$$
\boxed{P_m = 4(10\;W) = 40\;W}
\tag{6}$$

Item (d):

Agora, devemos responder a mesma pergunta do item anterior, mas agora as ondas tem uma fase de $0,4\pi$ entre elas. Para calcular a nova amplitude da onda resultante da interferência entre as duas ondas, podemos usar a Equação 16-52 do capítulo do livro, que diz:

$$
y’_m = 2y_m\cos{(\phi/2)}
\tag{7}$$

No qual $y_m$ é a amplitude de uma das ondas e $\phi$ é a fase entre elas. Isso nos resulta em:

$$
y’_m = 2y_m\cos{0,2\pi} = 1,6y_m
\tag{8}$$

Ou seja, a amplitude da onda resultante da interferência é 1,6 vezes maior que a amplitude das duas ondas originais. Novamente, como esse termo é elevado ao quadrado na expressão para $P_m$, $P_m$ será $(1,6)^2=2,6$ vezes maior. Portanto:

$$
\boxed{P_m = 2,6(10\;W) = 26\;W}
\tag{9}$$

Item (e):

Agora, temos que responder a mesma pergunta do item anterior mas com a fase sendo $\pi\;rad$. Com essa fase, as ondas estão em interferência totalmente destrutiva, e portanto, sua amplitude resultante é 0, ou seja:

$$
\boxed{P_m = 0}
\tag{10}$$