Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 7: Energia Cinética e Trabalho
Exercício 33:
Enunciado:
O bloco da Fig. 7-10a está em uma superfície horizontal sem atrito e a constante elástica é $50\; N/m$. Inicialmente, a mola está relaxada e o bloco está parado no ponto $x = 0$. Uma força com módulo constante de 3,0 N é aplicada ao bloco, puxando-o no sentido positivo do eixo $x$ e alongando a mola até o bloco parar. Quando isso acontece, (a) qual é a posição do bloco, (b) qual o trabalho realizado sobre o bloco… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, devemos calcular a posição do bloco quando ele para depois de ser alongado. Essa informação nos mostra que toda a energia potencial da mola ($E_p$) foi transformada em trabalho para mover o bloco ($W$), então, podemos igualar as duas grandezas:
$$
W = E_{p} \Longrightarrow Fx = \frac{kx^2}{2} \Longrightarrow (3\;N)x=(50\;N/m)\frac{x^2}{2}
\tag{1}$$
Isolando x:
$$
\boxed{x = (3/25)\;m = 0,12\;m}
\tag{2}$$
Perceba que nesse caso podemos ‘dividir por x’ para isolarmos a variável sem ter que resolver a equação de segundo grau. Podemos fazer isso porque não temos o fator ‘c’ da expressão ‘$ax^2+bx+c$’. Com isso, sabemos que a solução é única e portanto não perdemos informação da solução ‘dividindo’ por x e isolando-o.
Item (b):
O trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada será dada por pela força multiplicado pelo deslocamento do bloco que é o deslocamento da mola (x):
$$
\boxed{W = Fx = (3\;N)(0,12\;m) = 0,36\;J}
\tag{3}$$
Item (c):
Nesse item, é pedido o trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica ($W_e$). Lembre que a força elástica é a força que tenta fazer o bloco retornar a posição de equilíbrio, portanto, ela é na direção contrária da força que puxa o bloco e de mesmo módulo uma vez que ela só responde a força externa aplicada. O deslocamento é o próprio deslocamento da mola (x). Então, o trabalho realizado é o negativo do trabalho realizado pela força $F$:
$$
\boxed{W_e = -W = -0,36\;J}
\tag{4}$$
Item (d):
Devemos determinar a posição do bloco na qual a energia cinética é máxima. Sabemos que o trabalho é a variação da energia cinética:
$$
\Delta K = K_f – K_i= W
\tag{5}$$
Nesse caso, o trabalho é a diferença do trabalho da força externa (Equação 3) que atua durante o movimento de puxada do bloco e da energia potencial quando o bloco devido a força elástica (Equação 1). A energia cinética antes de começar a puxar o bloco ($K_i$) é claramente zero pois não há movimento.
Um outro jeito de pensar sobre isso é imaginar que a força externa puxa o bloco, mas a distância percorrida pelo bloco é menor porque uma parte do trabalho realizado é usado para compensar a força elástica que tenta fazer o bloco retornar a posição de equilíbrio e não se converte em movimento do bloco. Então o termo de energia potencial entra como negativo para computar a energia cinética (de movimento).
$$
K = K_f = Fx – kx^2/2
\tag{6}$$
De modo geral, sempre que precisamos calcular o valor máximo de uma variável, nós derivamos a função nessa variável e igualamos a zero:
$$
\frac{dK}{dx} = 0 \Longrightarrow F-kx = 0 \Longrightarrow x_{max} = \frac{F}{k}
\tag{7}$$
$$
\boxed{x_{max} = \frac{3\;N}{50\;N/m} = 0,06\;m}
\tag{8}$$
Item (e):
Agora, vamos calcular o valor máximo da energia cinética. Para isso, basta calcularmos $K(x_{max})$:
$$
\boxed{k_{max} = (3\;N)(0,06\;m)-\frac{(50\;N/m)(0,06\;m)^2}{2} = 0,090\;J}
\tag{9}$$
