Exercício 26, Capítulo 25, Fundamentos de Física Vol. 3: capacitor

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 25: Capacitância

Exercício 26:

Enunciado:

O capacitor 3 da Fig. 25-41a é um capacitor variável (é possível fazer variar a capacitância $C_3$). A Fig. 25-41b mostra o potencial elétrico $V_1$ entre as placas do capacitor 1 em função de $C_3$. A escala horizontal é definida por $C_{3s} = 12,0 \; \mu F$. O potencial elétrico.. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

O exercício nos pergunta o potencial elétrico $V$ da bateria. Veja na Figura 25-41a que os capacitores $C_2$ e $C_3$ estão em paralelo enquanto que $C_1$ está em série com relação a $C_2$ e $C_3$. Fazendo a regra de capacitores em série e em paralelo, teremos um capacitor equivalente $C_{eq}$:

$$
\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2+C_3} = \frac{C_1+C_2+C_3}{C_1(C_2+C_3)}
\tag{1}$$

A relação entre voltagem e capacitância é dado por $q=CV$. Como temos informação sobre a voltagem $V_1$ em $C_1$, temos que:

$$
V_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{C_{eq}}{C_1}V
\tag{2}$$

No qual usamos que a carga que passa por $C_1$ é a mesma que passa pelo resto do circuito (se conserva), portanto, podemos usar novamente a relação entre voltagem e capacitância para escrever que a carga total $q=C_{eq}V$, onde $V$ é a voltagem da bateria. Substituindo a expressão da capacitância equivalente na equação acima, ficamos com:

$$
V_1 = \frac{C_2+C_3}{C_1+C_2+C_3}V
\tag{3}$$

Veja que, quando $C_3$ vai para infinito, podemos menosprezar as contribuições de $C_1$ e $C_2$, uma vez que elas ficaram insignificantes perto do valor quase infinito de $C_3$. Portanto, teremos que:

$$
V_1 = \frac{C_3}{C_3}V = V
\tag{4}$$

Como quando $C_3$ vai para infinito, o exercício nos disse que $V_1 = V$, concluímos que o potencial elétrico da bateria é:

$$
\boxed{V=10\;V}
\tag{5}$$

Item (b):

Vamos calcular a capacitância de $C_1$. Para isso, podemos usar as informações do gráfico dado. Veja que quando $C_3=0$, $V_1=2\;V$. Com isso, temos que:

$$
V_1 = \frac{C_2}{C_1+C_2}(10\;V) = 2\;V
\tag{6}$$

Não confunda! $V_1=2\;V$ pelo gráfico, e $V$ é o potencial da bateria que calculamos no item (a). Dessa expressão conseguimos afirmar que:

$$
\frac{C_2}{C_1+C_2} = \frac{1}{5} \Longrightarrow C_1 = 4C_2
\tag{7}$$

Além disso, quando $C_3=6\;\mu F$, $V_1=5\;V$. Fazendo o mesmo procedimento:

$$
V_1 = \frac{C_2+C_3}{C_1+C_2+C_3}(10\;V) = 5\;V
\tag{8}$$

O que vai resultar em:

$$
\frac{1}{2} = \frac{C_1/4+6\;\mu F}{C_1+C_1/4+6\;\mu F}
\tag{9}$$

$$
C_1+\frac{C_1}{4}+6\;\mu F = \frac{C_1}{2} + 12\mu F
\tag{10}$$

$$
\frac{3C_1}{2} = 6\mu F
\tag{11}$$

O que finalmente, nos dá:

$$
\boxed{C_1=4\;\mu F}
\tag{12}$$

Item (c):

Agora, vamos calcular a capacitância de $C_2$. Como vimos na Equação (7):

$$
C_2 = \frac{C_1}{4}
\tag{13}$$

O que já nos dá a resposta para esse item:

$$
\boxed{C_2 = 1\;\mu F}
\tag{14}$$