Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 1
Capítulo 3: Vetores
Exercício 24
Enunciado:
O vetor $\vec{A}$, paralelo ao eixo $x$, deve ser somado ao vetor $\vec{B}$ , que tem um módulo de 7,0 m. A soma é um vetor paralelo ao eixo $y$, com um módulo 3 vezes maior que o de $\vec{A}$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Vetor $\vec{A}$ paralelo ao eixo x;
- Vetor $\vec{B}$ tem módulo de 7 m;
- Soma é um vetor paralelo a y com módulo 3x maior que $\vec{A}$.
Item único:
O exercício nos pede para calcular o módulo de $\vec{A}$. Como $\vec{A}$ é paralelo a x, ele pode ser escrito como:
$$\vec{A}=A_{x}\hat{i}+0\hat{j}\tag{1}
$$
Já \vec{B} deve ser escrito como:
$$\vec{B}=B_{x}\hat{i}+B_{y}\hat{j}\tag{2}
$$
Como a soma dos dois vetores deve ser paralelo a y, a componente x dessa soma deve ser zero.
$$A_{x}+B_{x}=0 \xrightarrow{} A_{x}=-B_{x}\tag{3}
$$
Calculando os módulos dos vetores \vec{A} e \vec{B}:
$$|\vec{A}|=\sqrt{A_{x}^{2}+0^{2}} = A_{x}\tag{4}
$$
$$|\vec{B}|=\sqrt{B_{x}^{2}+B_{y}^{2}} = 7\tag{5}
$$
Podemos escrever a soma dos vetores como:
$$\vec{A}+\vec{B}=0\hat{i}+B_{y}\hat{j}\tag{6}
$$
Através dos dados do enunciado, temos:
$$|\vec{A}+\vec{B}|=\sqrt{0^{2}+B_{y}^{2}}= B_{y} = 3|\vec{A}| = 3A_{x}\tag{7}
$$
Agora, substituindo as equações (3) e (7) em (5), temos:
$$\sqrt{(-A{x})^{2}+(3A_{x})^{2}} = 7\tag{8}
$$
$$\sqrt{10A_{x}^{2}}=7 \tag{9}
$$
Com isso, podemos calcular $A_{x}$, que pela equação (4), é o próprio módulo de \vec{A}:
$$\boxed{|\vec{A}|=A_{x}=\frac{7}{\sqrt{10}}=2,21\;m} \tag{10}
$$
