Exercício 19, Capítulo 1, Curso de Física Básica Vol. 2: salinidade

Moysés Nussenzveig

Curso de Física Básica – 4^a Edição

Capítulo 1: Estática dos Fluidos

Exercício 19:

Enunciado:

Em virtude da variação de temperatura, pressão e salinidade, a densidade $\rho$ da água do mar aumenta com a profundidade h segundo a lei $\rho = \rho_0 + c h$, em que $\rho_0$ é a densidade na superfície e $c$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item único:

A densidade da força volumétrica produzida pelo campo gravitacional é:

$$
\vec{f} = \rho \vec{g}
\tag{1}$$

Portanto o elemento de força é:

$$
d\vec{F} = \vec{f}dV
\tag{2}$$

Mas o elemento de volume é $dV = A dh$, onde $h$ é a profundidade. Sendo assim:

$$
d\vec{F} = \vec{f}Adh
\tag{3}$$

Podemos passar a área para o outro lado, e o termo se torna $d\vec{F}/A$ se torna $dP$. Além disso, podemos substituir o a expressão para a densidade de força, já considerando a dependencia dada pelo exercício:

$$
dP = \rho {g} dh = (\rho_0 + ch)gdh
\tag{4}$$

Onde deixamos a notação vetorial de lado pois a pressão é um escalar. Podemos integrar a expressão acima de $0$ até $h$ nos dois lados:

$$
\int_0^h dP = g\int_0^h(\rho_0 +ch)dh
\tag{5}$$

Isso resulta em:

$$
P(h) – P_0 = g\left(\rho_0h + \frac{ch^2}{2}\right)
\tag{6}$$

Logo:

$$
\boxed{P(h) = P_0 + g\left(\rho_0h + \frac{ch^2}{2}\right)}
\tag{7}$$