Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 17:
Enunciado:
Uma campânula cilíndrica de aço, sem fundo, de $3 \; m$ de altura, é baixada na água, a partir da superfície, até que seu teto fique a $5 \; m$ de profundidade. Que fração… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item único:
O primeiro passo é calcular a pressão na interface entre o ar e a água dentro da campânula. Lembre-se que, dentro do líquido, todos os pontos que estão à mesma profundidade, estão sujeitos à mesma pressão. Portanto, a pressão nessa interface, $P_I$ é simplesmente dada por:
$$
P_I = P_0 +\rho g x
\tag{1}$$
Onde $x$ é a altura da interface, e $P_0$ a pressão atmosférica. Como sabemos que a campânula tem 3 metros de altura e está submersa até seu teto estar à 5m de profundidade, podemos dizer que:
$$
x = 5 + 3 – h = 8 – h
\tag{2}$$
Onde $h$ é a altura da coluna de água dentro da campânula. Sendo assim, podemos escrever $P_I$ como:
$$
P_I = P_0 + \rho g (8-h)
\tag{3}$$
Nos resta então calcular a pressão $P_I$ para conseguirmos obter a expressão para $h$. Com as informações que temos, o que podemos fazer é usar a Lei de Boyle (dos gases ideais) para calcular a pressão interna da campânula antes e depois de submergir. Antes de ser submersa, a pressão interna da campânula é igual à pressão atmosférica, $P_0$. Uma vez que ela é colocada na água, o ar sofre uma compressão isotérmica, que tem o mesmo valor que $P_I$, afinal o sistema está em equlíbrio. Portanto:
$$
P_I V_f = P_0V_0
\tag{4}$$
Onde $V_f$ é o volume final ocupado pelo ar após a submersão, e $V_0$ é o volume inicial. Considerando que a campânula tem $3\;m$ de altura e a altura da coluna de água foi chamada de $h$, podemos escrever:
$$
V_f = (3-h)A
\tag{5}$$
Onde $A$ é a área da campânula. Da mesma forma, na situação inicial temos:
$$
V_0 = 3A
\tag{6}$$
Logo, a equação 4 se torna:
$$
P_I (3-h)A = P_03A
\tag{7}$$
Sendo assim:
$$
P_I = \frac{3 P_0}{(3-h)}
\tag{8}$$
Utilizando esse resultado na equação 3, nós temos:
$$
\frac{3 P_0}{(3-h)} = P_0 + \rho g(8-h)
\tag{9}$$
O que nos dá a seguinte equação do segundo grau:
$$
h^2 – h\left(11 + \frac{P_0}{\rho g}\right) + 24 = 0
\tag{10}$$
Sabendo que a pressão atmosférica é $1 \; atm = 101325 \; Pa$, a densidade da água e a aceleração da gravidade, o termo com as constantes pode ser calculado utilizando as unidades no Sistema Internacional:
$$
\frac{P_0}{\rho g} = \frac{101325}{1000\times 9,81} \approx 10.3 \; m
\tag{11}$$
Sendo assim, a equação se torna:
$$
h^2 – 21,3h + 24 = 0
\tag{12}$$
Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos duas raízes: $h \approx 1,2$, e $h \approx 20,1$. A segunda solução não é física pois a altura seria maior do que a própria campânula, logo $h = 1,2 \; m$. Dessa forma, a fração ocupada pela água é:
$$
\boxed{f = \frac{1,2}{3} = 40 \%}
\tag{13}$$
Nota do autor: Eu considero um pouco estranho termos que usar a Lei de Boyle nessa questão, sendo que o livro trata de gases ideais somente vários capítulos depois. Se alguém conhecer alguma outra solução que não precise disso (embora eu ache difícil!), eu adoraria vê-la.
