Exercício 16, Capítulo 1, Curso de Física Básica Vol. 2: cortiça

Moysés Nussenzveig

Curso de Física Básica – 4^a Edição

Capítulo 1: Estática dos Fluidos

Exercício 16:

Enunciado:

Duas bolas de mesmo raio, igual a $10 \; cm$, estão presas uma à outra por um fio curto de massa desprezível. A de cima, de cortiça, flutua sobre uma camada de óleo, de densidade $0,92 \; g/cm^3$, com a metade do volume submersa. A de baixo, 6 vezes mais densa que a cortiça… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Na esfera de cima, agem o peso, o empuxo e a tensão da corda. A tensão, assim como o peso, é para baixo, enquanto o empuxo é para cima. Como o sistema está em equilibrio, podemos escrever:

$$
E_{1,oleo} = m_1g + T
\tag{1}$$

Onde $E_{1,oleo}$ é o empuxo sobre a esfera de cima causado pelo óleo, $m_1$ a sua massa, e $T$ a tensão no fio.

Na esfera inferior, a tensão é para cima, então na situação de equilíbrio podemos escrever:

$$
E_2 = m_2g – T
\tag{2}$$

Onde $E_{2}$ é o empuxo sobre a esfera, $m_2$ a sua massa. Lembre-se que essa esfera está submersa em dois líquidos diferentes, a água e o óleo. Portanto o empuxo total é a soma do empuxo de cada um dos líquidos. Sendo assim, podemos deixar a expressão mais explícita:

$$
E_{2,oleo} + E_{2,agua} = m_2g – T
\tag{3}$$

Se somarmos as equações 1 e 3, nós temos:

$$
E_{2,oleo} + E_{2,agua} + E_{1,oleo} = g (m_1+m_2)
\tag{4}$$

Sendo $V$ o volume da esfera, podemos escrever então:

$$
\rho_{oleo} \frac{V}{2} g + \rho_{H_2O} \frac{V}{2} g +\rho_{oleo} \frac{V}{2} g = g (V\rho_c + V 6\rho_c)
\tag{5}$$

Onde $\rho_c$ é a densidade da cortiça, e $V$ é o volume da esfera. Da expressão acima, podemos obter uma expressão para a densidade da cortiça:

$$
\rho_c = \frac{1}{7}\left(\rho_{oleo} + \rho_{H_2O}\right)
\tag{6}$$

Sabendo os valores da densidade da água e do óleo, teremos:

$$
\boxed{\rho_c = \frac{1}{7}(0,92 +1) \approx 0,2 \; g/cm^3}
\tag{7}$$

Item (b):

Sabendo o valor da densidade da cortiça, podemos usar a equação 1 para calcular $T$:

$$
T = E_{1,oleo} – m_1g
\tag{8}$$

Ou seja:

$$
T = g(\frac{V}{2}\rho_{oleo} – \rho_cV) = gV \left(\frac{\rho_{oleo}}{2} – \rho_c\right)
\tag{9}$$

Substituindo todas as unidades no sistema internacional temos:

$$
T = 9,81 \times \frac{4\pi 0.1^3}{3} \times \left(\frac{0,92}{2} – 0,2\right) 10^3
\tag{10}$$

Onde o fator $10^3$ veio da conversão da unidade de densidade para o SI.
Portanto:

$$
\boxed{T \approx 10.7 \; N}
$$