Moysés Nussenzveig
Curso de Física Básica – 4a Edição
Capítulo 1: Estática dos Fluidos
Exercício 14:
Enunciado:
Um tubo em U, contendo um líquido, gira em torno do eixo $Oz$ (Figura P.11), com velocidade angular de $10 \; rad/s$. A distância $d$ entre os dois ramos do tubo é de 30 cm, e ambos são abertos na parte superior. Calcule a diferença de altura $h$… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item único:
Devido à rotação do recipiente em torno do eixo $z$, surge uma força fictícia, a força centrífuga, que faz o líquido ser empurrado para longe do eixo de rotação. Nesse caso, devido a forma do recipiente, o líquido flui de um ramo ao outro, causando a diferença de altura entre os níveis de água. O sistema está em equilíbrio, ou seja, a pressão em ambos os ramos é igual na altura do nível do líquido do lado esquerdo:
$$
P_0 + P_c = P_0 + \rho g h
\tag{1}$$
$P_0$ é a pressão atmosférica, presente em ambos os lados. $P_c$ é a pressão causada pela força centrífuga, e o termo $\rho g h$ vem da pressão exercida pela coluna de líquido de altura $h$ no lado direito.
Note que podemos escrever a equação 1 para obtermos uma expressão para $h$:
$$
h = \frac{P_c}{\rho g}
\tag{2}$$
Nos resta então obter uma expressão para essa pressão, $P_c$.
Como dito anteriormente, nessa situação em que o recipiente está girando em torno de um dos ramos, o líquido é empurrado ao outro lado pela força fictícia, que é quem gera a pressão que devemos calcular. Nós sabemos que o elemento de força pode ser escrito como:
$$
d\vec{F_c} = \vec{f}dV
\tag{3}$$
Onde $\vec{F_c}$ é a força centrífuga, $\vec{f}$ é a densidade de força, e $dV$ o elemento de volume. De acordo com o livro (seção 1.4), a densidade de força centrífuga é:
$$
\vec{f} = \rho \omega^2r\hat{r}
\tag{4}$$
Portanto podemos escrever:
$$
d\vec{F_c} = \hat{r} \rho \omega^2r dV
\tag{5}$$
Como sabemos que a área do tubo não se altera, podemos chamá-la de $A$ e dizer que $dV = A dr$, onde $dr$ é a distância do eixo $Oz$. Sendo assim, nossa expressão se torna:
$$
d\vec{F_c} = \hat{r} \rho \omega^2 A rdr
\tag{6}$$
Devido à forma de $U$ do tubo, a distância que o líquido percorre é $d$, portanto podemos integrar a expressão acima até $d$:
$$
\vec{F_c} = \hat{r} \rho \omega^2 A \int_0^d rdr
\tag{7}$$
O que resulta em:
$$
\vec{Fc} = \frac{\rho \omega^2 A d^2}{2}
\tag{8}$$
Sabemos que a pressão gerada por essa força nada mais é que $P_c = F_c/A$, ou seja:
$$
P_c = \frac{\rho \omega^2 d^2}{2}
\tag{9}$$
Usando esse resultado na equação 2, temos que:
$$
h = \frac{\omega^2d^2}{2g}
\tag{10}$$
Substituindo os valores conhecidos na expressão acima:
$$
\boxed{h = \frac{10^2 \times 0,3^2}{2 \times 9,81} \approx 0.46 \; m}
\tag{11}$$
