Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 28: Campos Magnéticos
Exercício 12:
Enunciado:
No instante $t_1$, um elétron que está se movendo no sentido positivo do eixo x penetra em uma região onde existem um campo elétrico $\vec{E}$ e um campo magnético $\vec{B}$, com $\vec{E}$ paralelo ao eixo $y$. A Fig. 28- 33 mostra a componente $y$ da força total $F_{tot,y}$ exercida pelos dois campos sobre o elétron em função da velocidade $v$ do elétron no instante $t_1$. A escala do … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
O exercício nos pede para determinar o módulo do campo elétrico. Como nós sabemos apenas temos informação apenas sobre o módulo da força total, então começaremos calculando sua expressão.
Numa partícula carregada numa região com um campo eletromagnético, na ausência de outras forças, a força total é dada pela soma das forças dos campos elétrico, e magnético:
$$
\vec{F_{tot}} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B} = q (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})
\tag{1}$$
Onde $q$ é a carga da partícula, $\vec{v}$ a sua velocidade. $\vec{E}$ e $\vec{B}$ são os campos elétrico e magnético, respectivamente.
Explicitando as componentes das forças:
$$
F_{tot} = q (E_x \hat{x} + E_y\hat{y} + E_z\hat{z} + (v_x\hat{x} + v_y\hat{y} + v_z\hat{z}) \times (B_x \hat{x} + B_y\hat{y} + B_z\hat{z}))
\tag{2}$$
Na situação descrita no problema, o campo elétrico é apenas no eixo $y$, enquanto o campo magnético não possui componente $x$. Além disso, o elétron desloca-se somente no eixo $x$. Logo, podemos simplificar a equação anterior:
$$
F_{tot} = q (E\hat{y} + v_x\hat{x} \times (B_y\hat{y} + B_z\hat{z}))
\tag{3}$$
Expandindo o produto vetorial, temos:
$$
F_{tot} = q (E\hat{y} + v_x B_y(\hat{x}\times\hat{y}) + v_x B_z(\hat{x}\times\hat{z}))
\tag{4}$$
Calculando os produtos vetoriais resulta em:
$$
F_{tot} = q (E\hat{y} + v_x B_y\hat{z} – v_x B_z\hat{y}) = q
\tag{5}$$
Pelo gráfico (figura 28-33 do livro), temos que a componente $y$ da força total é $-2 \times 19^{-19} \; N$ quando a velocidade do elétron é zero (ou seja, $v_x = 0$, portanto da equação 5 nós temos:
$$
q E = -2 \times 10^{-19} \; N
\tag{6}$$
Portanto, substituindo $q$ pela carga do elétron em Coulombs, temos:
$$
\boxed{E = \frac{-2 \times 10^{-19} \; N}{-1.6 \times 10^{-19} \; C} = 1.25 \; N/C}
\tag{7}$$
Item (b):
Precisamos determinar o campo magnético. Já sabemos que a componente $x$ é nula, então nos resta determinar as outras. O enunciado diz que a componente $z$ da força é nula. Perceba que isso independe da velocidade. Portanto, da equação 5 temos que $v_x B_y = 0$, logo, $B_y = 0$.
Para determinar a componente que resta, podemos escolher um ponto da figura 28-33 onde a velocidade não é nula. Por exemplo, a força é nula quando $v = 50 \; m/s$. Substituindo esses valores na componente $y$ da equação 5, e já conhecendo o campo elétrico, temos:
$$
q(E – v_x B_z) = 0 \rightarrow B_z = \frac{E}{v} = {\frac{1.25 \; N/C}{50 \; m/s}} = 2.5 \times 10^{-2} \; T
\tag{8}$$
Então:
$$
\boxed{\vec{B} = 2.5 \times 10^{-2} \; T \hat{z}}
\tag{9}$$
