Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 2
Capítulo 13: Gravitação
Exercício 67
Enunciado:
Qual é (a) a velocidade e (b) qual é o período de um satélite de 220 kg em uma órbita aproximadamente circular 640 km acima da superfície da Terra? Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa média de $1,4\times10^5\;J$ por revolução orbital. Usando a aproximação razoável de que a órbita do satélite se torna uma “circunferência cujo raio diminui lentamente”, determine… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Satélite de massa $m=220\;kg$ em órbita circular a uma altitude de $h=640\times10^3 \;m$ acima da superfície terrestre;
- O exercício fornece mais informações durante os itens, portanto, eles serão mostrados dentro de cada item a seguir.
Item (a):
Nesse item, queremos calcular a velocidade do satélite dado sua massa e a altitude da órbita. Para isso, devemos calcular a velocidade do satélite devido a força centrípeta que a Terra exerce sobre ele através da força gravitacional. A força gravitacional é dado por:
$$F = \frac{GMm}{r^2} \tag{1}
$$
No qual $M$ e $m$ é a massa da Terra e do satélite, respectivamente e $r$ é o raio da órbita do satélite. A força centrípeta é dada pela Lei de Newton:
$$F = \frac{mv^2}{r} \tag{2}
$$
Igualando as duas expressões, ficamos com:
$$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \Longrightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \tag{3}
$$
O raio da órbita do satélite é o raio da Terra somado com a altitude que ele se encontra, ou seja:
$$r = 6,37\times10^6\;m + 0,64\times10^6\;m = 7,01\times10^6\;m \tag{4}
$$
No qual tanto o raio da Terra quando sua massa $M$ podem ser obtidos na Tabela 13-2 do livro. Com os valores numéricos, temos uma velocidade de:
$$\boxed{v=\sqrt{\frac{(6,37\times10^{-11}\;m^3/s^2kg)(5,98\times10^{24}\;kg)}{7,01\times10^6\;m}} = 7,54\times10^3\;m/s \approx 7,5\;km/s} \tag{5}
$$
Item (b):
Nesse item, nos é pedido o período do movimento do satélite. A expressão para o período é dado por:
$$T = \frac{2\pi r}{v} \tag{6}
$$
Usando o resultado da velocidade para a Equação (5), temos:
$$\boxed{T = \frac{2\pi(7,01\times10^6\;m)}{7,54\times10^3\;m/s} = 5,84\times10^3\;s \approx 97\;min} \tag{7}
$$
Item (c):
O exercício nos pede para supor que o satélite perca energia mecânica a uma taxa de $1,4\times10^5\;J$ por revolução. Nesse item, queremos saber a altitude do satélite na revolução 1500 uma vez que ele está perdendo energia e portanto sua altitude irá diminuir.
Como sabemos a energia perdida por revolução, a energia que o satélite terá depois de 1500 revoluções será:
$$E = E_0 – 1500(1,4\times10^5\;J) \tag{8}
$$
A energia mecânica no caso de uma órbita circular é dado por:
$$E_0 = -\frac{GMm}{2r} \tag{9}
$$
No qual a energia mecânica será a inicial quando utilizarmos o raio da órbita inicial do problema. A expressão (9) é discutida no livro entre as Equações (13-37) a (13-42), no qual basicamente a energia mecânica é a soma da potencial gravitacional e da energia cinética. Desse modo, a energia inicial será de:
$$E_0 = -\frac{(6,67\times10^{-11}\;m^3/s^2kg)(5,98\times10^{24}\;kg)(220\;kg)}{2(7,01\times10^6\;m)} = -6,26\times10^9\;J \tag{10}
$$
Portanto, a nova energia, depois de 1500 revoluções será, através da Equação (8):
$$E = -6,26\times10^9\;J – (1500\;rev)(1,4\times10^5\;J/rev) = -6,47\times10^9\;J \tag{11}
$$
Agora, podemos reutilizar a Equação (9), faz dessa vez fazendo $E_0 = E$ e isolando $r$ para encontrar o raio da órbita nessa nova energia:
$$r = -\frac{GMm}{2E} \tag{12}
$$
Substituindo $E$ com a Equação (11):
$$r = -\frac{(6,67\times10^{-11}\;m^3/s^2kg)(5,98\times10^{24}\;kg)(220\;kg)}{2(-6,47\times10^9\;J)} = 6,78\times10^6\;m \tag{13}
$$
Lembrando que $r$ é o raio da órbita do satélite, a nova altitude de sua órbita será a diferença entre $r$ e o raio da Terra:
$$\boxed{h = r-R = 6,78\times10^6\;m-6,37\times10^6\;m = 4,1\times10^5\;m} \tag{14}
$$
Perceba que a nova altitude é menor do que a altitude inicial dada pelo exercício, o que faz sentido.
Item (d):
Agora, queremos calcular a nova velocidade do satélite devido a perda de energia. Nós já encontramos uma relação entre velocidade e o raio da órbita na Equação (3). Como já calculamos o novo raio da órbita devido a perda de energia, podemos calcular a nova velocidade utilizando o novo raio, ou seja:
$$\boxed{v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{(6,67\times10^{-11}\;m^3/s^2kg)(5,98\times10^{24}\;kg)}{6,78\times10^6\;m}} = 7,67\times10^3\;m/s \approx 7,7\;km/s} \tag{15}
$$
No qual usamos o resultado do valor do raio da órbita da Equação (13). Perceba que comparando essa velocidade com a velocidade da Equação (5), vemos que a velocidade aumentou, ou seja, por mais que a energia mecânica diminuiu, a energia cinética aumentou, mas aumentou menos do que a energia potencial diminuiu. Ou seja, para o satélite conseguir ficar numa órbita menor, sua velocidade deve ser maior.
Item (e):
Agora, devemos calcular o novo período do satélite. Novamente, podemos agora usar a Equação (6), que relaciona o período com a velocidade, ou seja:
$$\boxed{T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi (6,78\times10^6\;m)}{7,67\times10^3\;m/s} = 5,6\times10^3\;s \approx 93\;min} \tag{16}
$$
Comparando com o período antes da perda de energia (Equação (7)), o satélite percorre uma revolução em um tempo mais rápido, uma vez que sua altitude é menor e sua velocidade maior.
Item (f):
Nesse item, o exercício nos pergunta qual o módulo da força retardadora do satélite. Podemos calcular a força através do trabalho realizado pela força em uma revolução. Se $F$ é o módulo da força e $s$ é a distância percorrida pelo satélite em uma revolução, o trabalho é dado por:
$$W = -Fs \tag{17}
$$
Como a força gravitacional é uma força conservativa, podemos dizer que o trabalho é a variação da energia mecânica do satélite:
$$W = -Fs = \Delta E \Longrightarrow F = -\frac{\Delta E}{s} = -\frac{\Delta E}{2\pi r} \tag{18}
$$
No qual usamos que a distância percorrida em uma revolução é o comprimento da circunferência. Usando o raio da Equação (4) e que $\Delta E$ é a energia perdida por revolução, temos:
$$\boxed{F = -\frac{-1,4\times10^5\;J}{4,4\times10^7\;m} = 3,2\times10^{-3}\;N} \tag{19}
$$
Item (g):
O exercício nos pergunta se o momento angular em relação a Terra é conservado para o satélite. Como a força retardadora exerce um torque sobre o satélite, o momento angular do satélite não é conservado.
Item (h):
Agora, o exercício nos pergunta se o momento angular é conservado se considerarmos o sistema satélite-Terra supondo que o sistema é isolado. Nesse caso, o momento de inércia é conservado uma vez que a força retardadora sobre o satélite faz parte do sistema como um todo.
