Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10ª Edição
Volume 2
Capítulo 13: Gravitação
Exercício 59
Enunciado:
Três estrelas iguais, de massa M, formam um triângulo equilátero de lado L que gira em torno do centro do triângulo enquanto as estrelas se movem em uma mesma circunferência… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Solução:
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
- Três estrelas iguais, de massa $M$ formam um triângulo equilátero de lado $L$;
- As estrelas giram em torno do centro do triângulo de modo que as estrelas giram na mesma circunferência.
Item único:
O exercício nos pede a velocidade tangencial das estrelas. A Figura abaixo exemplifica o problema.
Figura 1: Diagrama do exercício
Primeiramente, podemos pensar que cada estrela é atraída gravitacionalmente pelas outras duas, sendo que o módulo da força gravitacional que cada estrela faz sobre outro é $GMM/L^2$ e a direção é ao longo da reta que passa pelas duas estrelas consideradas. Perceba que, por simetria, a força resultante em uma estrela apontará para o centro do triângulo, ou seja, para a metade do ângulo do vértice ($30^{\circ}$). Desse modo, a força resultante que uma estrela é submetida tem módulo
$$F_R = 2\frac{GM^2}{L^2}\cos{\theta} \tag{1}
$$
Essa força é justamente a força centrípeta que dará velocidade a estrela e a manterá em órbita. A segunda Lei de Newton para a força centrípeta nos diz que:
$$F_R = \frac{Mv^2}{R} \tag{2}
$$
No qual $M$ é a massa da estrela, $v$ é sua velocidade e $R$ é o raio da órbita. Portanto, precisamos calcular o raio da órbita. Para isso, vamos considerar a geometria do problema mostrado na Figura 1. Perceba que, dado o sistema de coordenadas mostrado na Figura, o centro do triângulo (e o centro da circunferência também) está justamente no centro de massa do sistema consistido das 3 estrelas. Veja que as estrelas estão situadas nos pontos $(0,0), (L,0), (L/2,\sqrt{3}L/2)$. No qual usamos a altura do triângulo equilátero para a coordenada $y$ da terceira estrela. Essa altura pode ser calculada via Teorema de Pitágoras com um dos catetos sendo $L/2$ e hipotenusa $L$.
Sabendo a posição das estrelas, podemos calcular seu centro de massa. Para a coordenada $x$ do centro de massa, temos:
$$3Mx_{CM} = M\left(L + \frac{L}{2}\right) \Longrightarrow x_{CM} = \frac{L}{2} \tag{3}
$$
Fazendo a mesma conta para o eixo $y$:
$$3My_{CM} = M\frac{\sqrt{3}L}{2} \Longrightarrow y_{CM} = \frac{\sqrt{3}L}{6} \tag{4}
$$
Perceba que na direção $y$ só temos um termo uma vez que duas estrelas estão na posição $y=0$. Agora que temos as coordenadas do centro de massa, ou seja, do centro do triângulo, o raio da órbita das estrelas ($R$) será a hipotenusa do triângulo formado entre $x_{CM}$, $y_{CM}$ e $R$, ou seja:
$$R = \sqrt{x_{CM}^2+y_{CM}^2} = \sqrt{(L/2)^2+(\sqrt{3}L/6)^2} = \sqrt{L^2(1/4+1/12)} = \frac{L}{\sqrt{3}} \tag{5}
$$
Agora, igualando as Equações (1) e (2) e substituindo a expressão para $R$, ficamos com:
$$\frac{\sqrt{3}Mv^2}{L} = 2\frac{GM^2}{L^2}\cos{\theta} \tag{6}
$$
Isolando a velocidade:
$$v^2 = \frac{2}{\sqrt{3}}\frac{GM}{L}\cos{\theta} \tag{7}
$$
Como já discutido acima, $\theta = 30^{\circ}$, ou seja, metade do ângulo inteiro do triâgulo equilátero. Sabendo que $\cos{30^{\circ}}=\sqrt{3}/2$, o termo numérico da expressão (7) simplifica e restamos com a resposta para a velocidade da estrela:
$$\boxed{v=\sqrt{\frac{GM}{L}}} \tag{8}
$$
