Exercício 5, Capítulo 2, Curso de Física Básica Vol. 2: câmara de combustão

Moysés Nussenzveig

Curso de Física Básica – 4^a Edição

Capítulo 2: Noções de hidrodinâmica

Exercício 5:

Enunciado:

Um modelo aproximado da câmara de combustão de um foguete é um recipiente contendo gás que se mantém a uma pressão constante p, com um orifício pelo qual o gás escapa para o exterior, onde a pressão… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item único:

Podemos escrever a equação de Bernoulli para uma linha de corrente dentro do recipiente:

$$
z_1 + \frac{v_1^2}{2g} + \frac{p}{\rho g} = C
\tag{1}$$

Onde $p$ é a pressão dentro do recipiente, e $\rho$ a densidade do gás. Assim como o exercício anterior, a velocidade dentro do recipiente pode ser considerada nula pois não há mudança apreciável no nível de gás dentro do recipiente com a vazão, logo:

$$
z_1 + \frac{p}{\rho g} = C
\tag{2}$$

Mais uma vez, podemos escrever a equação para essa linha de corrente logo que ela sai do recipiente:

$$
z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \frac{p_0}{\rho g} = C
\tag{3}$$

Podemos igualar as expressões, o que nos dá:

$$
z_1 + \frac{p}{\rho g} = z_2 + \frac{v_2^2}{2g} + \frac{p_0}{\rho g}
\tag{4}$$

A pressão interna do recipiente não varia com a altura nesse caso, logo podemos considerar $z_1 = z_2$, o que resulta em:

$$
\frac{p}{\rho g} = \frac{v_2^2}{2g} + \frac{p_0}{\rho g}
\tag{5}$$

De modo que a velocidade é:

$$
v^2 = \frac{2(p – p_0)}{\rho}
\tag{6}$$

Onde deixamos cair o índice $2$ da velocidade para simplificar a notação. Para descobrirmos a força resultante, precisamos calcular a massa $dm$ que o reservatório perde em um tempo $dt$. Nós podemos começar escrevendo:

$$
dm = \rho dV
\tag{7}$$

Ou seja, a massa $dm$ é igual à densidade vezes um volume $dV$. Mas lembre-se que a área do orifício é $A$. Podemos então dizer que o volume $dV$ é dado pela velocidade vezes um tempo $dt$ (o que corresponde a uma altura), vezes a área:

$$
dV = vdtA
\tag{8}$$

Ou seja, o volume que escapa depende da velocidade da vazão e da área do furo. Utilizando esse resultado na equação 7, temos:

$$
dm = \rho vAdt
\tag{9}$$

Portanto:

$$
\frac{dm}{dt} =\rho v A
\tag{10}$$

Sabemos que a força resultante no caso de massa variável (Seção 8.5 do primeiro volume do Curso de Física Básica do mesmo autor) é:

$$
m \frac{dv}{dt} = \frac{dm}{dt}v + \vec{F_{ext}}
\tag{11}$$

Onde $\vec{F_{ext}}$ são forças externas que agem no sistema. Nesse caso, não há nenhuma, logo a equação se reduz aos dois primeiros termos:

$$
\vec{F_r} = m \frac{dv}{dt} = \frac{dm}{dt} v
\tag{12}$$

Ou seja, a força resultante, que chamamos de $\vec{F_r}$, é igual ao termo da direita. Como já o calculamos antes, podemos usar o resultado da equação 10 na equação acima:

$$
\vec{F_r} = \frac{dm}{dt} v = \rho v^2 A
\tag{13}$$

Utilizando a equação 6 no resultado acima, temos então a resposta do exercício:

$$
\boxed{ \vec{F_r} = A 2(p – p_0) }
\tag{14}$$