Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 27: Circuitos
Exercício 47:
Enunciado:
Um fio de cobre de raio $a = 0,250 \; mm$ tem uma capa de alumínio de raio externo $b = 0,380 \; mm$. A corrente no fio composto é $i = 2,00 \; A$. Usando a Tabela 26-1, calcule a corrente… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, o exercício nos pede a corrente que passa pela parte de cobre do fio. Veja que como o alumínio e o cobre são concêntricos, podemos considerá-los em paralelo. Por isso, eles estão submetidos a mesma ddp, ou seja:
$$
i_CR_C = i_AC_A
\tag{1}$$
No qual o índice C e A representa grandezas do fio de cobre e do alumínio, respectivamente. A soma das correntes de cada material deve ser a corrente total do fio dada no exercício $i=i_A+i_B$. Perceba que a resistência de cada material depende de suas resistividades $\rho$. Podemos reescrever as resistências em termos de $\rho$. Para a parte de cobre do fio:
$$
R_C = \frac{\rho_C L}{\pi a^2}
\tag{2}$$
Para a capa de alumínio, teremos:
$$
R_A = \frac{\rho_A L}{\pi(b^2-a^2)}
\tag{3}$$
Usando essas duas relações na Equação (1) e simplificando os termos possíveis, ficamos com:
$$
\frac{i_C\rho_C}{a^2} = \frac{i_A\rho_A}{b^2-a^2}
\tag{4}$$
Como temos a relação entre as correntes ($i=i_A+i_C$), podemos escrever expressões separadas para $i_C$ e $i_A$. Substituindo $i_A=i-i_C$ na equação anterior, ficamos com:
$$
i_C = \frac{a^2\rho_A i}{(b^2-a^2)\rho_C+a^2\rho_A}
\tag{5}$$
Agora, substituindo $i_C=i-i_A$ na Equação (4), temos:
$$
i_A = \frac{(b^2-a^2)\rho_C i}{(b^2-a^2)\rho_C+a^2\rho_A}
\tag{6}$$
Perceba agora temos as correntes em cada material como função de parâmetros conhecidos. Os valores de resistividade do cobre e do alumínio podem ser obtidas na Tabela 26-1 do livro. Além disso, o denominador de ambas equações são iguais e resultam:
\begin{gather}
\nonumber(b^2-a^2)\rho_C+a^2\rho_A = (1,69\times10^{-8}\Omega m)\\
+(0,25\times10^{-3}\;m)^2(2,75\times10^{-8}\;\Omega m) = 3,1\times10^{-15}\;\Omega m^3
\end{gather}
Nesse item, o exercício nos pede $i_C$:
$$
i_C = \frac{(0,25\times10^{-3}\;m)^2(2,75\times10^{-8}\;\Omega m)(2\;A)}{3,1\times10^{-15}\;\Omega m^3}
\tag{7}$$
O que resulta em:
$$
\boxed{i_C=1,11\;A}
\tag{8}$$
Item (b):
Agora, devemos calcular $i_A$. Basta usar Equação (6):
$$
i_A = \frac{(2,75\times10^{-3}\;m)(2\;A)}{3,1\times10^{-15}\;\Omega m^3}
\tag{9}$$
Resultando:
$$
\boxed{i_A=0,89\;A}
\tag{10}$$
Item (c):
Se uma diferença de potencial $V=12\;V$ entre as extremidades mantém a corrente, devemos calcular o comprimento do fio composto. Como o exercício nos deu a ddp nesse caso, podemos usar que:
$$
V = i_CR_C = \frac{i_C\rho_CL}{\pi a^2}
\tag{11}$$
No qual usamos o fio de cobre, mas poderia ser o fio de alumínio também, usando os termos $i_A$ e $\rho_A$. Agora, isolando $L$ que é o que queremos calcular:
$$
L = \frac{\pi a^2 V}{i_C\rho_C}
\tag{12}$$
Como agora sabemos a corrente que passa pelo cobre, basta substituir os valores numéricos:
$$
\boxed{L = \frac{\pi (0,25\times10^{-3}\;m)^2(12\;V)}{(1,11\;A)(1,69\times10^{-8}\;\Omega m)} = 126\;m}
\tag{13}$$
