Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 11: Rolagem, Torque e Momento Angular
Exercício 67:
Enunciado:
A Fig. 11-59 é uma vista, de cima, de uma barra fina, homogênea, de comprimento 0,600 m e massa $M$, girando horizontalmente a 80,0 rad/s no sentido anti-horário em torno de um eixo que passa pelo centro. Uma partícula, de massa $M/3,00$, que se move horizontalmente com uma velocidade de 40,0 m/s, choca-se com a barra e fica presa. A trajetória da partícula é perpendicular à barra no momento do choque, que ocorre a uma distância d do centro da barra. (a) Para qual valor de d a barra e a partícula permanecem em repouso após… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, queremos saber que valor de $d$ devemos ter para que a barra e a partícula permaneçam em repouso depois da colisão. A Figura 11-59 ilustra a situação. Podemos aplicar a lei da conservação de momento angular uma vez que não há forças externas no sistema barra e partícula. Inicialmente teremos o momento angular devido a barra girando e devido a partícula:
$$
L_i = I_{barra}\omega – mdv
\tag{1}$$
O sinal de negativo é porque a partícula está com vetor velocidade na direção horária do giro da barra e definimos como positivo o sentido anti-horário de movimentação. Através da Tabela 11-2(e) do livro, podemos consultar o momento de inércia de uma barra final com eixo perpendicular a ela:
$$
I_{barra} = \frac{ML^2}{12}
\tag{2}$$
Substituindo na Equação (1), ficamos com:
$$
L_i=\frac{ML^2\omega}{12} – mdv
\tag{3}$$
No final, como queremos o sistema parado, o momento angular será zero ($L_f=0$). Portanto, aplicando a conservação do momento angular, ficamos com:
$$
L_i = L_f \Longrightarrow \frac{ML^2\omega}{12} – mdv=0
\tag{4}$$
Isolando $d$ e usando o fato de que $m=M/3$:
$$
d = \frac{ML^2\omega}{4Mv} = \frac{L^2\omega}{4v}
\tag{5}$$
Substituindo os valores numéricos, chegamos em:
$$
\boxed{d = \frac{(0,6\;m)^2(80\;rad/s)}{4(40\;m/s)}=0,18\;m}
\tag{6}$$
Item (b):
Nesse item, devemos responder em que sentido o sistema gira se $d$ for maior que o valor calculado no item (a).
Se $d$ for maior, o termo negativo é maior na Equação (4), fazendo com que o momento angular final não seja mais zero, mas sim negativo após a colisão. Como havíamos já definido, momento angular negativo significa girar no sentido horário, ou seja, o sistema irá inverter o sentido de giro após a colisão se $d \gt 0,18 \; m$
