Exercício 48, Capítulo 9, Fundamentos de Física Vol. 1: partícula

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Capítulo 9: Centro de Massa e Momento Linear

Exercício 48:

Enunciado:

Uma partícula A e uma partícula B são empurradas uma contra a outra, comprimindo uma mola colocada entre as duas. Quando as partículas são liberadas, a mola as arremessa em sentidos opostos. A massa de A é 2,00 vezes a massa de B e a energia armazenada na mola era 60 J. Suponha que a mola tem massa desprezível e que toda a energia armazenada é transferida para as partículas. Depois de… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item (a):

Depois de terminada a transferência de energia, nos é perguntado a energia cinética da partícula A ($K_A$). Para resolver esse exercício, vamos utilizar tanto conservação de energia mecânica (só temos forças conservativas atuando) e conservação de momento linear das partículas. Isso será necessário principalmente porque não temos a relação da velocidade entre as partículas e queremos calcular sua energia cinética.

Portanto, podemos escrever que a conservação de energia mecânica sendo a energia potencial da mola se transformando em energia cinética das duas partículas:

$$
U_m=K_A+K_B = 60\;J
\tag{1}$$

No qual utilizamos o fato de que nos foi dado a energia total inicial da mola. Por conservação de momento linear, podemos escrever que o momento linear inicial do sistema, quando as partículas estão comprimidas na mola, é zero (velocidade nula). No final, cada partícula terá sua velocidade $v_A$ e $v_B$:

$$
0 = m_Av_A-m_Bv_B
\tag{2}$$

No qual definimos que a partícula B está indo na direção negativa de um eixo de coordenadas. Como $m_A = 2m_B$:

$$
0 = 2m_Bv_A – m_Bv_B \Longrightarrow v_B = 2v_A
\tag{3}$$

Como temos a relação das velocidades e das massas, podemos escrever a relação das energias cinéticas:

$$
K_B = \frac{m_Bv_B^2}{2} = \frac{(m_A/2)(2v_A)^2}{2} = m_Av_A^2 = 2\left(\frac{m_Av_A^2}{2}\right) = 2K_A
\tag{4}$$

Usando esse resultado na Equação (1), ficamos com:

$$
U_m = K_A + 2K_A = 3K_A = 60\;J
\tag{5}$$

O que finalmente nos dá a energia cinética da partícula A:

$$
\boxed{K_A = 60/3\;J = 20\;J}
\tag{6}$$

Item (b):

Agora, devemos calcular a energia cinética da partícula B ($K_B$). Como já sabemos a relação entre a energia cinética das partículas pela Equação (4), basta calcularmos $K_B$:

$$
\boxed{K_B = 2K_A = 2(20\;J) = 40\;J}
\tag{7}$$

Como confirmação, veja que $K_A+K_B=60\;J$, como dito na Equação (1).