Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 9: Centro de Massa e Momento Linear
Exercício 16:
Enunciado:
Ricardo, com 80 kg de massa, e Carmelita, que é mais leve, estão apreciando o pôr do sol no Lago Mercedes em uma canoa de 30 kg. Com a canoa imóvel nas águas calmas do lago, o casal troca de lugar. Seus assentos estão separados por uma distância de 3,0 m e simetricamente dispostos em relação ao centro da embarcação. Se, com a troca… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pede a massa de Carmelita ($M_C$). Vamos analisar a posição do centro de massa do sistema na primeira situação: Ricardo a esquerda, Carmelita a direita. Vamos assumir que o eixo x aponta para a esquerda e o zero do eixo está exatamente no centro do barco. Então, Ricardo está numa posição negativa ($x_R = -L/2 = -1,5\;m$), Carmelita está em $x_C = L/2 = 1,5\;m$ e o barco está em $x_b = 0$, portanto, podemos escrever $x_{CM}$ como sendo:
$$
x_{CM} = \frac{M_Rx_R+mx_b+M_Cx_C}{M_R+m+M_C}
\tag{1}$$
Substuindo os valores conhecidos, ficamos com:
$$
x_{CM} = \frac{80(-1,5)+30(0)+M_C(1,5)}{80+30+M_C}
\tag{2}$$
Agora, vamos calcular $x_{CM}$ para a segunda situação. Nesse caso, o exercício nos diz que o barco se descolou 40 cm, mas a direção do deslocamento (para esquerda ou para a direita) importa aqui. Veja que se considerarmos apenas o sistema Ricardo + Carmelita, quando eles trocam de lugar, ou seja, Ricardo senta a esquerda e Carmelita a direita, o centro de massa dos dois se desloca para a direita (pois Ricardo tem mais massa, como diz o enunciado). Como o centro de massa do sistema composto pelas duas pessoas mais o barco não muda, o barco se desloca para o lado contrário de modo a preservar o centro de massa do sistema como um todo. Portanto, o barco vai se deslocar 40 cm para a esquerda, na direção de Carmelita. Isso é muito importante para o exercício, uma vez que assumir aleatoriamente que o barco se desloca para o outro lado nos dá uma resposta final errada.
Então, dito isso, o zero do eixo de coordenadas ficou mais a direita do centro do barco. Ricardo agora está a direita devido a troca de assentos, então, a distância dele para o zero do eixo x é $1,5\;m-0,4\;m$. Carmelita está a esquerda e como o zero do eixo de coordenadas está 40 cm mais longe dela, sua distância em relação a ele é $-(1,5\;m+0,4\;m)$. Por fim, o barco está a 40 cm a esquerda do zero do eixo, então seu deslocamento é de – 40 cm. Com isso, o novo $x_{CM}$ fica:
$$
x_{CM} = \frac{80(1,5-0,4)-30(0,4)-M_C(1,5+0,4)}{80+30+M_C}
\tag{3}$$
$$
x_{CM} = \frac{80(1,1)-30(0,4)-M_C(1,9)}{80+30+M_C}
\tag{4}$$
A ilustração da discussão feita acima é mostrada na Figura 1.
Figura 1: Ilustração da situação do sistema nos dois momentos considerados. As setas coloridas no momento 2 mostra os novos vetores posição para o cálculo do centro de massa.
Agora que temos o centro de massa para ambas situações, podemos igualar as duas expressões (Equação (2) e Equação (4)), pois o centro de massa do sistema Ricardo + Carmelita + barco não pode mudar uma vez que a mudança de assentos é simétrico. Então:
$$
\frac{80(-1,5)+30(0)+M_C(1,5)}{80+30+M_C} = \frac{80(1,1)-30(0,4)-M_C(1,9)}{80+30+M_C}
\tag{5}$$
Perceba que podemos cancelar os denominadores e restamos com:
$$
80(-1,5)+1,5M_C = 80(1,1)-30(0,4)-1,9M_C
\tag{6}$$
Rearranjando, ficamos com:
$$
\boxed{M_C = \frac{80(1,1+1,5)-30(0,4)}{3,4} = 57,6\;kg}
\tag{7}$$
