Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 7: Energia Cinética e Trabalho
Exercício 52:
Enunciado:
2Um funny car acelera a partir do repouso, percorrendo uma dada distância no tempo T, com o motor funcionando com potência constante P. Se os mecânicos conseguem aumentar a potência do motor de um pequeno valor dP, qual é … para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
Nos é perguntado a variação do tempo necessário para percorrer esse tempo se a potência do carro for aumentada de um pequeno valor $dP$. Primeiramente, vamos escrever a potência do carro em termos da energia cinética:
$$
P = \frac{dW}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = mv\frac{dv}{dt} = constante
\tag{1}$$
Veja que na terceira igualdade nós derivamos a energia cinética em função do tempo usando a regra da cadeia . E essa expressão é constante pois nos foi dito que a potência é constante.
Explicitando o termo $dt$ e integrando ambos os lados:
$$
dt = \frac{mvdv}{P} \Rightarrow \int_{0}^{T}dt=\int_0^{v_T}\frac{mvdv}{P}
\tag{2}$$
Na qual $v_T$ é a velocidade do carro no tempo $t=T$. Então, resolvendo a integral, fica:
$$
T = \frac{mv_T^2}{2P}
\tag{3}$$
Agora temos uma expressão de P em função de T, mas precisamos eliminar $v_T$ pois não o conhecemos. Para isso, vamos calcular a distância percorrida pelo carro (L). Por cinemática, podemos escrever:
$$
L = \int_0^T vdt = \int_0^{v_T} v \frac{(mvdv)}{P} = \frac{m}{P}\int_0^{v_T}v^2dv = \frac{mv_T^3}{3P}
\tag{4}$$
A terceira igualdade pode ser escrita devido a última igualdade da Equação (1) isolando dt. Perceba que isso só é valido porque P é uma constante nesse intervalo de tempo.
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
$$
L^2 = \left(\frac{mv_T^3}{3P}\right)^2 = \frac{8P}{9m}\left(\frac{mv_T^2}{2P}\right)^3
\tag{5}$$
Na Equação 5 apenas rearranjamos o termo da direita de modo a aparecer o termo $T^3$ no parênteses, compare com a Equação 3. Portanto, agora podemos escrever:
$$
L^2 = \frac{8PT^3}{9m}
\tag{6}$$
Agora vem a parte interessante do exercício. Nós queremos um termo de potência P multiplicando um termo de tempo T que seja constante, de modo que derivando essa expressão nós tem um termo dP multiplicando um termo dT igualado a 0 (derivada de uma constante). Para isso, precisamos saber que parte da expressão acima é uma constante. Bom, perceba que a única informação sobre expressão constante que temos é na Equação 1, ou seja:
$$
P = mv\frac{dv}{dt} = constante
\tag{7}$$
Rearranjando, temos:
$$
Pdt = mvdv = constante
\tag{8}$$
Agora, vamos analisar as dimensões dessa equação. Perceba que os fatores P e m já está na Equação 6, mas as outras devemos entender pela dimensão:
$$
P = \Rightarrow P = = constante
\tag{9}$$
Perceba que $m^2$ tem equivalência com $L^2$ na Equação 6, $s^3$ com $T^3$ e a massa $m$ com $kg$, então podemos escrever que a seguinte expressão é constante:
$$
PT^3 = \frac{9}{8}mL^2 = constante
\tag{10}$$
Agora, podemos derivar a expressão $PT^3 = constante$ com relação ao tempo:
$$
dPT^3+3PT^2dT = 0
\tag{11}$$
Então, a variação de tempo para uma variação de potência é:
$$
\boxed{dT = -\frac{T}{3P}dP}
\tag{12}$$
Perceba que o sinal de menos nos diz que um aumento de potência do motor leva a uma diminuição do tempo para percorrer a mesma distância, o que faz sentido.
