Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 16: Ondas-I
Exercício 59:
Enunciado:
Na Fig. 16-43, um fio de alumínio, de comprimento $L_1$ = 60,0 cm, seção reta $1,00 \times 10^{–2} cm^2$ e massa específica $2,60\; g/cm^3$, está soldado a um fio de aço, de massa específica $7,80\; g/cm^3$ e mesma seção reta. O fio composto, tensionado por um bloco de massa m = 10,0 kg, está disposto de tal forma que a distância $L_2$ entre o ponto de solda e a polia é 86,6 cm. Ondas transversais são excitadas no fio por uma fonte externa de frequência variável; um nó está situado na polia… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, devemos determinar a menor frequência de uma onda estacionária em que o ponto de solda entre os dois fios seja um dos nós. A Figura 16-43 do livro exemplifica o problema. Perceba que se temos uma onda estacionária da parede até a polia, a frequência da onda tem que ser a mesma nos dois fios. O que irá mudar, portanto, será sua velocidade de propagação e comprimento de onda. Podemos então calcular a frequência para os dois fios. Fazendo primeiramente para o alumínio, sabemos que:
$$
L_1 = \frac{n_1\lambda_1}{2}
\tag{1}$$
No qual $\lambda_1$ é o comprimento de onda da onda e $n_1$ é a ordem da onda, ou seja, o número de meios comprimentos de onda da onda estacionária no fio de alumínio. Usando que $v = \lambda f$ na equação anterior:
$$
L_1 = \frac{n_1v_1}{2f} \Longrightarrow f = \frac{n_1v_1}{2L_1}
\tag{2}$$
Usando as mesmas considerações, a frequência do fio de aço será $f=n_2v_2/2L_2$ e ela deve ser igual a frequência do fio de alumínio:
$$
\frac{n_1v_1}{L_1} = \frac{n_2v_2}{L_2}
\tag{3}$$
Agora, temos que escrever a velocidade em termos de parâmetros conhecidos. De forma geral, temos que:
$$
v = \sqrt{\frac{\tau}{\mu}}
\tag{4}$$
Podemos também escrever a massa específica linear $\mu$ é:
$$
\mu = \frac{m}{L} = \frac{\rho AL}{L} = \rho A \Longrightarrow v = \sqrt{\frac{\tau}{\rho A}}
\tag{5}$$
No qual usamos que a massa pode ser escrita como a massa específica $\rho$ (não confundir com a massa específica linear $\mu$) multiplicado pelo volume do fio. Agora, voltamos com esse resultado para velocidade na Equação (3):
$$
\frac{n_1}{L_1}\sqrt{\frac{\tau}{\rho_1 A}} = \frac{n_2}{L_2}\sqrt{\frac{\tau}{\rho_2 A}} \Longrightarrow \frac{n_1}{L_1\sqrt{\rho_1}} = \frac{n_2}{L_2\sqrt{\rho_2}}
\tag{6}$$
No qual usamos o fato de que a tração é a mesma nos dois fios, dada pelo bloco suspenso e a seção transversal dos fios também foi dita como sendo iguais. Rearranjando a equação interior e substituindo os termos numéricos, temos:
$$
\frac{n_2}{n_1} = \frac{L_2\sqrt{\rho_2}}{L_1\sqrt{\rho_1}} = \frac{(0,866\;m)\sqrt{7,8\times10^3\;kg/m^3}}{(0,6\;m)\sqrt{2,6\times10^3\;kg/m^3}} = 2,5
\tag{7}$$
Os menores números inteiros que satisfazem $n_2 = 2,5n_1$ são $n_1=2$ e $n_2 = 5$. Sabendo as ordens das ondas, podemos agora calcular a frequência de uma delas, que é a mesma para as duas:
$$
f = \frac{n_1v_1}{2L_1} = \frac{1}{L_1}\sqrt{\frac{\tau}{\rho_1 A}} = \frac{1}{L_1}\sqrt{\frac{mg}{\rho_1 A}}
\tag{8}$$
No qual usamos o resultado da Equação (5) na primeira igualdade e que a tração no fio $\tau=mg$ é o peso do bloco. Calculando a frequência:
$$
\boxed{f = \frac{1}{(0,6\;m)}\sqrt{\frac{(10\;kg)(9,8\;m/s^2)}{(2,6\times10^3\;kg/m^3)(10^{-6}\;m^2)}} = 324\;Hz}
\tag{9}$$
Item (b):
O exercício nos pergunta quantos nós são observados para essa frequência. Como já sabemos a ordem da onda em casa fio, vemos que a corda de alumínio tem $n_1=2$, ou seja, tem dois meios comprimento de onda. Já no fio de aço, temos 5 meios comprimentos de onda, ou seja, temos um total de 7 meios comprimentos de onda. Isso corresponde a oito nós, incluindo os nós das extremidades.
