Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 3
Capítulo 24: Potencial Elétrico
Exercício 40:
Enunciado:
A barra fina de plástico da Fig. 24-47 tem comprimento $L=10\;cm$ e uma densidade linear de carga não uniforme $\lambda=cx$, em que $c=49,9\;pC/m$ (a) Com $V = 0$ no infinito, determine o potencial elétrico no ponto… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Com $V=0$ no infinito, devemos determinar o potencial elétrico no ponto $P_2$, situado no eixo $y$ em $y=D=3,56\;cm$, como mostrado na Figura 24-47 do livro. Para isso, vamos calcular o potencial devido a um infinitesimal de barra e integrar em toda a barra. Dado um segmento qualquer da barra localizado entre $x$ e $x+dx$, sua densidade de carga será $\lambda(x)=cx$ e a distância desse ponto da barra até o ponto $P_2$ será $\sqrt{x^2+y^2}$, de modo que o infinitésimo potencial fica:
$$
dV = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{cxdx}{\sqrt{x^2+y^2}}
\tag{1}$$
Integrando o potencial em todo o comprimento da barra, ou seja, de 0 a L, ficamos com:
$$
V = \frac{c}{4\pi\epsilon_0} \int_0^L \frac{xdx}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{c}{4\pi\epsilon_0} \sqrt{x^2+y^2}\Big|_0^{L} = \frac{c}{4\pi\epsilon_0} {\sqrt{L^2+y^2}-y^2}
\tag{2}$$
Usando os valores dados no exercício:
$$
V = \frac{49,9\times10^{-12}\;C/m}{4\pi(8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)} {\sqrt{(0,1\;m)^2+(0,356\;m)^2}-(0,356\;m)^2}
\tag{3}$$
Que resulta em:
$$
\boxed{V = 3,16\times10^{-2}\;V = 31,6\;mV}
\tag{4}$$
Item (b):
Agora, vamos determinar a componente do campo elétrico $E_y$ no ponto $P_2$. Sabemos que a componente $y$ do campo elétrico é dado pelo negativo da derivada parcial do potencial no ponto $P$ em relação a $y$. Usando a expressão do potencial calculado no Equação (2), temos:
$$
E_y = -\frac{\partial V_P}{\partial y} = -\frac{c}{4\pi\epsilon_0}\frac{\partial}{\partial y} = \frac{c}{4\pi\epsilon_0}\left(1-\frac{y}{\sqrt{L^2+y^2}}\right)
\tag{5}$$
Substituindo os valores numéricos:
$$
E_y = \frac{49,9\times10^{-12}\;C/m}{4\pi(8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)}\left(1-\frac{0,0356\;m}{\sqrt{(0,1\;m)^2+(0,0356\;m)^2}}\right)
\tag{6}$$
Com isso, temos:
$$
\boxed{E_y=0,298\;N/C}
\tag{7}$$
Item (c):
Nesse item, o exercício nos pergunta porque a componente $E_x$ do campo elétrico em $P_2$ não pode ser calculada usando o resultado do item (a). Perceba que calculamos o potencial em um ponto do eixo $y$, de modo que o potencial não tem dependência em $x$. Para termos o termo $E_x$, devemos calcular o potencial em um ponto ($x$,$y$) e com isso podemos calcular o campo elétrico pela expressão $E_x = -\partial V(x,y)/\partial x$.
