Exercício 33, Capítulo 24, Fundamentos de Física Vol. 3: barra fina

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 3

Capítulo 24: Potencial Elétrico

Exercício 33:

Enunciado:

A barra fina, de plástico, que aparece na Fig. 24-47 tem um comprimento $L=12\;cm$ e uma densidade linear de carga não uniforme $\lambda=cx$, em que $c=28,9\;pC/m^2$…. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

A imagem da barra fina se encontra na Figura 24-47 do livro. O exercício nos pergunta o potencial elétrico no ponto $P_1$ do eixo $x$ a uma distância $d=3\;cm$ de uma das extremidades. Como sabemos, o potencial produzido por uma distribuição contínua de cargas é dado por:

$$
V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{dq}{r}
\tag{1}$$

No nosso caso, um infinitesimal de carga da barra está associado a um infinitesimal de comprimento através da densidade da barra:

$$
dq = \lambda dx = cxdx
\tag{2}$$

Na integral, $r$ é a distância entre o ponto em que estamos integrando, digamos $x$ e o ponto $P_1$, que está a uma distância $d$ da barra. Portanto, $r=x+d$ e a integração irá ocorrer em $x$ delimitado pelas extremidades da barra, ou seja, de $0$ a $L$:

$$
V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_0^L \frac{cxdx}{x+d}
\tag{3}$$

Podemos encontrar a solução dessa integral no Apêndice E do livro em ‘Derivadas e Integrais’, no qual nossa integral é a número 21. Usando esse resultado, temos:

$$
V = \frac{c}{4\pi\epsilon_0} \Big|_0^{L} = \frac{c}{4\pi\epsilon_0} {L-d\ln (L+d)-} = \frac{c}{4\pi\epsilon_0}
\tag{4}$$

Substituindo os valores:

$$
V = \frac{28,9\times10^{-12}\;C/m^2}{4\pi(8,85\times10^{-12}\;C^2/Nm^2)}
\tag{5}$$

Resultando:

$$
\boxed{V=1,86\times10^{-2}\;V=18,6\;mV}
\tag{6}$$