Exercício 25, Capítulo 15, Fundamentos de Física Vol. 2: bloco

Item (a):

Nesse item, o exercício nos pede a que distância do alto do plano inclinado fica o ponto de equilíbrio do bloco. A Figura 15-36 do livro mostra o problema. Veja que uma vez que o bloco é colocado na mola, o peso do bloco devido a gravidade irá estender a mola de um $\Delta x$ e portanto a distância total do alto do plano $l_t$ será:

$$
l_t = l+\Delta x
\tag{1}$$

Para encontrar $\Delta x$, podemos utilizar o equilíbrio das forças elástica e peso. A componente da força peso será a componente paralela a superfície do plano, ou seja:

$$
P = mg\sin{\theta}
\tag{2}$$

Um modo rápido de saber que a componente é a ‘seno’ é pensar que se $\theta =0$, a superfície fica na horizontal e a força deve ser $F=mg$, o que é verdade uma vez que $\sin{(0)}=1$ e portanto, $P=mg\sin{(0)}=mg$.
A força elástica será diretamente:

$$
F = k\Delta x
\tag{3}$$

Como o bloco está em equilíbrio:

$$
F = P \Longrightarrow mg\sin{\theta} = k\Delta x
\tag{4}$$

Com isso, temos:

$$
\Delta x = \frac{mg\sin{\theta}}{k} = \frac{(14\;N)\sin{40^{\circ}}}{120\;N/m} = 0,075\;m
\tag{5}$$

No qual usamos o fato do exercício já nos ter dado o peso do bloco $mg$. Para encontrarmos o resultado pedido pelo exercício, voltamos a Equação (1):

$$
\boxed{l_t = l+\Delta x = 0,45\;m+0,075\;m = 0,525\;m}
\tag{6}$$

Item (b):

Nesse item, o exercício nos pergunta qual o período de oscilação resultante se o bloco é puxado para baixo e solto para oscilar. O período do bloco é escrito como:

$$
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}
\tag{7}$$

No qual a massa do bloco pode ser calculada através do peso do bloco dado $m=P/g$. Substituindo isso na Equação acima, chegamos ao resultado desse item:

$$
\boxed{T = 2\pi \sqrt{\frac{P}{gk}} = 2\pi \sqrt{\frac{14\;N}{(9,8\;m/s^2)(120\;N/m)}} = 0,686\;s}
\tag{8}$$