Exercício 24, Capítulo 15, Fundamentos de Física Vol. 2: molas

Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 2

Capítulo 15: Oscilações

Exercício 24:

Enunciado:

Na Fig. 15-35, duas molas são ligadas entre si e a um bloco de massa 0,245 kg que oscila em um piso sem atrito. As duas molas possuem uma constante elástica k = 6430N/m… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pergunta a frequência de oscilação do sistema. A Figura 15-35 do livro exemplifica o problema. Veja que esse problema é sobre entender a constante elástica resultante quando temos duas molas associadas em série. Podemos entender esse problema de modo geral.

Imagine que as duas molas somadas (ou seja, como se fossem uma) sofram um alongamento total $\Delta x$ quando exercido uma força $F$. Nesse caso, a constante elástica efetiva será, como normalmente é,

$$
k_{ef} = \frac{F}{\Delta x}
\tag{1}$$

Agora, vamos tratar as molas separadamente. Digamos que a mola da esquerda sofre um alongamento $\Delta x_e$ enquanto a mola da direita sofre um alongamento $\Delta x_d$. Como elas estão ligadas, a mola da esquerda exerce uma força $k\Delta x_e$ sobre a mola da direita. Do mesmo modo, a mola da direita faz uma força $k\Delta x_d$ sobre a mola da esquerda. Mas, de acordo com a terceira lei de Newton, ou seja, lei da ação e reação, as duas forças devem ser iguais, também porque as molas se mantêm paradas, desse modo:

$$
k\Delta x_e = k\Delta x_d
\tag{2}$$

Isso significa que o alongamento das duas molas devem ser o mesmo, e portanto, podemos escrever o alongamento total como sendo duas vezes maior que o alongamento de uma das molas:

$$
\Delta x = 2\Delta x_e = 2\Delta x_d
\tag{3}$$

Do mesmo modo, segundo a terceira lei de Newton, a força que o bloco sente será a mesma força que a mola da esquerda o puxa. Portanto, teremos que:

$$
F = k\Delta x_e
\tag{4}$$

Substituindo o resultado da Equação (3), temos:

$$
F = \frac{k}{2}\Delta x
\tag{5}$$

Assim, o bloco se comporta como se estivesse submetido à força de uma única mola de constante elástica $k_{ef}=k/2$. Sabendo isso, podemos determinar a frequência do movimento usando a Equação:

$$
f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_{ef}}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{2m}}
\tag{6}$$

Utilizando os valores dados no exercício:

$$
\boxed{f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{(6430\;N/m)}{2(0,245\;kg)}}=18,2\;Hz}
\tag{7}$$