Exercício 54, Capítulo 4, Fundamentos de Física Vol. 1: bola

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 1

Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões

Exercício 54:

Enunciado:

Uma bola é lançada a partir do solo com uma dada velocidade. A Fig. 4-45 mostra o alcance R em função ao ângulo de lançamento $\theta_0$. O tempo de percurso depende do valor de… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pergunta a menor velocidade que a bola possui durante o percurso se $\theta_0$ é escolhido de forma que o tempo do percurso seja $0,5t_{max}$, sendo $t_{max}$ o maior valor possível de tempo. Usando a Equação 4-22 do livro para lançamentos oblíquos e fazendo $y-y_0=0$ uma vez que a bola é lançada do chão e retorna ao chão, temos:

$$
(v_0sen\theta_0) t = \frac{gt^2}{2} \Longrightarrow t = \frac{2v_0sen\theta_0}{g}
\tag{1}$$

Perceba então que o tempo máximo $t_{max}$ ocorrerá no máximo da função seno, quando $sen\theta_0=1$, ou seja, quando $\theta_0=90^{\circ}$ o que quer dizer um lançamento vertical para cima. Usando esse valor de $\theta_0$ na expressão acima, temos o valor de $t_{max}$:

$$
t_{max} = \frac{2v_0}{g}
\tag{2}$$

Mas o exercício nos pede o valor de $v_0$ para $t_{max}/2$, então, dividindo por 2 os dois lados da equação acima:

$$
\frac{t_{max}}{2} = \frac{v_0}{g} \Longrightarrow\frac{gt_{max}}{v_0} = 2
\tag{3}$$

Voltando na Equação (1), vamos isolar o termo $sen\theta_0$ e fazer $t=t_{max}/2$:

$$
\frac{t_{max}}{2} = \frac{2v_0sen\theta_0}{g} \Longrightarrow sen\theta_0 = \frac{gt_{max}}{4v_0}
\tag{4}$$

Perceba que o termo $gt_{max}/v_0 = 2$ como mostrado na Equação (3). Com isso, temos:

$$
sen\theta_0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\tag{5}$$

De modo que o ângulo para o qual o tempo de percurso corresponde a metade do tempo máximo é $\theta_0=30^{\circ}$. O exercício nos pergunta a menor velocidade que a bola possui no percurso. A menor velocidade que bola possui será no ponto mais alto da sua trajetória, uma vez que nesse ponto $v_y=0$ e a velocidade será apenas a componente $x$:

$$
v = v_x = v_0\cos\theta_0 = v_0\cos30^{\circ} = 0,866v_0
\tag{6}$$

Nos resta então determinar $v_0$. Para isso, vamos usar o gráfico da Figura 4-45 do exercício. Veja que de 0 a 200 temos 5 subdivisão da escala, o que nos dá 40 metros por divisão. Por isso, o ponto com maior alcance temos $R=240\;m$ para $\theta_0=45^{\circ}$. Vamos usar a Equação 4-26 do livro para lançamento oblíquo, dado por:

$$
R = \frac{v_0^2}{g}sen(2\theta_0) \Longrightarrow v_0 = \sqrt{\frac{gR}{sen(2\theta_0)}}
\tag{7}$$

Substutindo os valores:

$$
v_0 = \sqrt{\frac{(9,8\;m/s^2)(240\;m)}{sen(90^{\circ})}} = 48,5\;m/s
\tag{8}$$

Voltando a Equação (6), temos o resultado final:

$$
\boxed{v = 0,866v_0 = 0,866(48,5\;m/s) = 42\;m/s}
\tag{9}$$