Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Volume 1
Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões
Exercício 53:
Enunciado:
Na Fig. 4-44, uma bola de beisebol é golpeada a uma altura $h_0=1\;m$ e apanhada na mesma altura. Deslocando-se paralelamente a um muro, a bola passa pelo alto do muro 1,00 s após ter sido golpeada e, novamente, 4,00 s depois, quando está descendo… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item (a):
Nesse item, o exercício nos pergunta a distância total percorrida pela bola, do instante em que ela foi golpeada até ser apanhada. A Figura 4-44 do livro exemplifica o problema. Primeiramente, vamos definir alguns parâmetros. As coordenadas em que a bola é golpeada serão $x_0=0$ e $y_0=h_0=1\;m$. As coordenadas em que ela passa por cima do muro pela primeira vez serão $x_1$ e $y_1=h_1$ (altura do muro) depois de um tempo $t_1=1\;s$. As coordenadas de quando ela volta a passar pela altura do muro na descida serão $x_2$ e $y_2=h_1$ em um tempo $t_2=5\;s$ ($4\;s$ depois de $t_1$). Por fim, as coordenadas de quando a bola é apanhada serão $x_f$ e $y_f=h_0=1\;m$.
A distância que o exercício pede nesse item é $x_f-x_0$. Como na projeção em $x$, não temos componente de aceleração, a velocidade $v_x$ é constante. Sabemos que entre $x_2$ e $x_1$ a distância é $50\;m$ e um tempo de $4\;s$, portanto:
$$
x_2-x_1= v_{x}(t_2-t_1) \Longrightarrow v_x = \frac{50\;m}{4\;s} = 12,5\;m/s
\tag{1}$$
Como o movimento balístico é simétrico, se a bola demorou $1\;s$ para passar o muro, ela também levará $1\;s$ para passar do muro na descida e ser apanhada. Somando os $4\;s$ em que ela fica acima do muro, temos que o tempo em total do lançamento será $t=1\;s+4\;s+1\;s = 6\;s$. Então, podemos novamente aplicar a equação que usamos acima mas dessa vez para $x_f-x_0$ uma vez que a velocidade em $x$ é constante:
$$
x_f-x_0 = v_x t = (12,5\;m/s)(6\;s)
\tag{2}$$
O que nos resulta na resposta desse item:
$$
\boxed{x_f-x_0 = 75\;m}
\tag{3}$$
Item (b):
Vamos calcular o módulo da velocidade da bola imediatamente após ter sido golpeada. A componente $x$ da velocidade nós já calculamos no item anterior. Para calcular a componente $y$, temos que usar a equação de movimento que contenha a influência da gravidade. Vamos aplicar essa equação a parte em que a bola fica acima do muro, ou seja, em um tempo $t=4\;s$. Perceba que nesse intervalo, a posição inicial e final são as mesmas uma vez que ela passa pela mesma posição na subida e na descida, ou seja, $y_2-y_1=0$:
$$
y_2-y_1 = v_{1y}t-\frac{gt^2}{2} \Longrightarrow 0 = v_{1y}(4\;s)-\frac{(9,8\;m/s^2)(4\;s)^2}{2}
\tag{4}$$
O que nos dá $v_{1y} = 19,6\;m/s$. Mas perceba que agora temos o subíndice 1 indicando que a velocidade em $y$ não é constante. Como queremos a velocidade logo após a bola ser golpeada, precisamos calcular $v_y$ 1 segundo antes da velocidade calculada acima. Usando a equação horária para a velocidade:
$$
v_y = v_{1y} – gt = 19,5\;m/s – (9,8\;m/s)(1\;s) = 29,4\;m/s
\tag{5}$$
Lembrando que com isso temos a velocidade inicial da bola dada por:
$$
\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}
\tag{6}$$
De modo que o módulo pedido nesse item pode ser calculado como:
$$
|\vec{v}| = \sqrt{(v_x)^2+(v_y)^2} = \sqrt{(12,5\;m/s)^2+(29,4\;m/s)^2}
\tag{7}$$
O que nos dá a resposta final:
$$
\boxed{|\vec{v}| = 31,9\;m/s}
\tag{8}$$
Item (c):
Agora, vamos calcular o ângulo que o vetor velocidade faz em relação a horizontal. Uma vez que temos as componentes da velocidade assim que ela é golpeada, através de relações trigonométricas, o ângulo é dado por:
$$
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{29,4\;m/s}{12,5\;m/s}\right)
\tag{9}$$
O que nos dá:
$$
\boxed{\theta = 67^{\circ}}
\tag{10}$$
Item (d):
Nesse item, o exercício nos pergunta qual a altura do muro. Como sabemos que o tempo entre o golpe e a bola passar acima do muro foi de $1\;s$, podemos usar a equação horária da posição para a coordenada $y$:
$$
y = y_0 + v_yt-\frac{gt^2}{2}
\tag{11}$$
No qual $v_y$ é a velocidade em $y$ no momento que a bola foi golpeada e $y=h_1$ nesse caso é a altura do muro quando $t=1\;s$. Com isso:
$$
h_1 = 1\;m + (29,4\;m/s)(1\;s) – \frac{(9,8\;m/s^2)(1\;s)^2}{2}
\tag{12}$$
O que nos resulta em:
$$
\boxed{h_1 = 25,5\;m}
\tag{13}$$
