Exercício 52, Capítulo 4, Fundamentos de Física Vol. 1: bola

Halliday & Resnick

Fundamentos de Física – 10^a Edição

Volume 1

Capítulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões

Exercício 52:

Enunciado:

Uma bola é lançada do solo em direção a uma parede que está a uma distância $x$ (Fig. 4-43a). A Fig. 4-43b mostra a componente $v_{y}$ da velocidade da bola no… para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.

Dados relevantes fornecidos no enunciado:

Item Único:

O exercício nos pergunta o ângulo de lançamento da bola. Para isso, vamos utilizar as equações de lançamento balístico. A componente $x$ do movimento não tem influência de nenhuma aceleração, portanto, sua equação de posição é simplesmente:

$$
x = v_{0x}t \Longrightarrow t = \frac{x}{v_{0x}}
\tag{1}$$

Como o gráfico dado no exercício é da componente $y$ da velocidade em função da posição da parede, vamos usar a equação de $v_y$ do movimento balístico e substituir a expressão acima para o tempo, estamos eliminando o tempo uma vez que não nos foi dado nenhuma informação sobre ele, só das outras variáveis:

$$
v_y = v_{0y} -gt \Longrightarrow v_y = v_{0y}-\frac{gx}{v_{0x}}
\tag{2}$$

Perceba que a equação acima nos dá justamente uma reta num gráfico $v_y\;\times\;x$ com inclinação $a = -g/v_{0x}$ e intercepto $v_{0y}$, que é justamente o que o gráfico do exercício nos mostra. Na equação acima, podemos identificar a inclinação ($a$) do gráfico é:

$$
a = \frac{\Delta v_y}{\Delta x} = \frac{(-v_{ys})-(v_{ys})}{x_s-0} = \frac{-5\;m/s-5\;m/s}{20\;m} = -\frac{1}{2}
\tag{3}$$

Igualando isso a equação da inclinação:

$$
-\frac{g}{v_{0x}} = -\frac{1}{2} \Longrightarrow v_{0x} = 2g = 19,6\;m/s
\tag{4}$$

Pelo gráfico, veja que o valor que intercepta o eixo $y$ é $v_{ys}=5\;m/s$, o que, comparando com o intercepto dado pelas equações do movimento balístico, nos dá:

$$
v_{0y} = v_{ys} = 5\;m/s
\tag{5}$$

Com isso, podemos determinar o ângulo de lançamento que nos foi pedido, que é dado por:

$$
\theta = \tan^{-1}(v_{0y}/v_{0x}) = \tan^{-1}\left(\frac{5\;m/s}{19,6\;m/s}\right)
\tag{6}$$

Lembre-se, esse resultado vem simplesmente da decomposição de vetores sendo $\theta$ o ângulo entre o vetor $\vec{v}$ e a horizontal ($v_{0x}$). Como temos o valor das duas componentes da velocidade, chegamos ao resultado final:

$$
\boxed{\theta=14,3^{\circ}}
\tag{7}$$