Halliday & Resnick
Fundamentos de Física – 10a Edição
Capítulo 10: Rotação
Exercício 66:
Enunciado:
Uma casca esférica homogênea, de massa $M = 4,5 \; kg$ e raio $R = 8,5 \; cm$, pode girar em torno de um eixo vertical sem atrito (Fig. 10-47). Uma corda, de massa desprezível, está enrolada no equador da casca, passa por uma polia de momento de inércia $I = 3,0 \times 10^{−3} \; kg \cdot m^2$ e raio $r = 5,0 \; cm$ e está presa a um pequeno objeto de massa $m = 0,60 \; kg$. Não há atrito no eixo da polia, e a corda não escorrega na casca nem na polia. Qual é a velocidade do objeto depois de cair 82 cm após.. para ter acesso ao enunciado completo, cheque a disponibilidade do livro na biblioteca da sua instituição de ensino. O livro também pode ser adquirido através desse link.
Dados relevantes fornecidos no enunciado:
Item Único:
O exercício nos pede a velocidade do objeto depois de cair $h=82\;cm$ após ter sido liberado a partir do repouso. A Figura 10-47 do livro exemplifica a situação. O próprio exercício ainda nos diz para utilizarmos considerações de energia. Perceba que como não há atrito atuando no sistema, podemos usar a conservação de energia mecânica para o sistema todo.
Depois que o sistema é liberado, temos que a casca esférica gira, a polia gira e o bloco adquire energia cinética e cai, portanto, a energia mecânica final é dada pela soma desses três termos de energia cinética.
$$
E_f = \frac{I_{casca}\omega_{casca}^2}{2}+\frac{I_{polia}\omega_{polia}^2}{2} + \frac{mv^2}{2}
\tag{1}$$
Como nos foi dito que o sistema parte do repouso, então o que causou que o sistema iniciasse o movimento foi a energia potencial gravitacional do objeto. Então, a energia mecânica do sistema antes de liberado foi de:
$$
E_i = mgh = \frac{I_{casca}\omega_{casca}^2}{2}+\frac{I_{polia}\omega_{polia}^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = E_f
\tag{2}$$
Vamos então determinar o momento de inércia da casca esférica que não nos foi dado. Pela Tabela 10-2 (g), temos que:
$$
I_{casca} = \frac{2MR^2}{3}
\tag{3}$$
Ainda, podemos escrever a velocidade angular da casca e da polia como função da velocidade linear $v$ e dos raios. Perceba que a velocidade que o objeto tiver no momento pedido pelo exercício, será também a velocidade tanto da casca como da polia girando pois os três elementos estão vinculados pela corda, então:
$$
\omega_{casca} = \frac{v}{R}
\tag{4}$$
$$
\omega_{polia} = \frac{v}{r}
\tag{5}$$
Substituindo esses termos na Equação (2), temos:
$$
mgh = \frac{Mv^2}{3}+ \frac{I_{polia}v^2}{2r^2} +\frac{mv^2}{2}
\tag{6}$$
Perceba que já temos todos os valores numéricos exceto do que queremos determinar, a velocidade $v$ do objeto, portanto, isolando $v$:
$$
v = \sqrt{\frac{mgh}{\frac{M}{3}+\frac{I_{polia}}{2r^2}+\frac{m}{2}}}
\tag{7}$$
$$
\boxed{v=\sqrt{\frac{(0,6\;kg)(9,8\;m/s^2)(0,82\;m)}{\frac{4,5\;kg}{3}+\frac{3\times10^{-3}\;kgm^2}{2(0,05\;m)^2}+\frac{0,6\;kg}{2}}} = 1,4\;m/s}
\tag{8}$$
